Federici Commandini ... Liber de centro grauitatis solidorum

F E D E R I C I

COMMANDINI

VRBINATIS

LIBER DE CENTRO

gravitatis

S O I. I D O R V M.

CVM PRIVILEGIO IN ANNOS X.
B O N O N I AE,

Ex Officina Alexandri Bcnacii .

M D L X V

ALEXANDRO FARNESIO

CARDINALI AMPLISSIMO,
et optimo.

VM miiltte res in mathematicis
difciplinis nequaquam fatis ad-
huc explicata: fint, tum perdit
ficilis, &c perobfcura quarftio
eftde centro grauitatis corpo-
rum folidorum ; qua:, & adeo-
gnofccndum pulcherrima cfi:,
& ad multa, qua: ^ mathematicis proponuntur , pra:-
clarc intelligenda maximum affert adiumentum. de
qua neminem ex matheraaticis,neque noftra, neque
patrum noftrorum memoria feriptum reliquifle fei-
mus.Sc quamuis in earum monumentis literariim no
nulla rcperiantur,cx quibus in hanc fententiam addu
ci polTumus, vt cxiflimcrnus hanc rem ab ijfde vber-
rime tradfatam effe •, tamen nefeio quo fato adhuc
in ciufmodi librorum ignoratione verfamur . Archi-
medes quidem mathcmaticoru princeps in libello,
cuius inferiptio cA,n<irfxf,iif!ot de centro pla-

norum copiorifsime,atque acutifsimc confcripfit:3c
in eo explicando fummaingeniij&fcicntix gloria eft
cofcciitus.Sed de cognitione ectri grauitatis corporu
folidoru nulla in cius libris litera inuenitur. non raul
tos abhinc annos Marcellvs iI. Pont.Max.

2

cumadluic Cardinalis clieCj mihi, quaefiia erat hii-
niaiiitas, libros ciufJem Archimedis de iis, qii.t ve-
huntur ii) ac|ua,!atiiic redditos dono dedit . hos cum
cgOjUtaliorum ftudia incitarem, emendados, & c5-
mentariisilhiftraiidos fulcepiderajanimaducrti dubi
tari non poile, quin Archimedes vel dchac materia
fcripiiiTct, vel aliorum mathematicorum feripta per-
IcgiiTct. nam in iis tum alia nonnulla , tum maxime
illam propofitioncra , ut euidentem, 8c alias proba-
tam afTumit, Centru grauitatis in portionibus coiioi
dis redangiili axem ita diuidcre,vt parsjqua: ad verti
cem terminatur, altcriuspartis, qiiatad bafim dupla
fit. Verum h*c ad eam partem machcmaticarum
difciplinarum pra’cipue refertur, in qua de centro
grauitatis corporum folidorum tradatur, non eft au
tem confcntancum Archimedem illum admirabilem
virum hanc propofidonem iibi argumentis con-
firmandam exiftiniaturum non fuifle', nifi cain vel
aliis in locis probaiiiiTct, vcl ab aliis probatam eflc
comperiflet-quamobremnequid in iis librisintcl-
ligcndis dcfideraripoiTct, ftatuihanc etiam partem
vcl a veteribus pra:tenTiiiiam,veI tradatam quidem,
fcd in tenebris iacentem , non intadam relinquere ;
atque ex afsidua mathematicorum, pra.-fercim Archi-
medis ledionc,qua: mihi in mentem vcnemnt,ca in
medium afferre ; ut centri grauitatis corporum foli-
dorum , fi non perfedam , at certe aliquam noti-

tiam liabcremus. Q_uem meum laborem no mathe-
maticas foluiTij verum iis ctianij qui n.itiir.i' obfciiri-
tatc(idc^T:antur, no iniucundam Fore fpcraiii: multa
enim cognitione dignilsima , qux ad vtra-
que Feientiam attinent, fefc legentibus obculiflcnt.
neque id vili mirandum videri debet, vt enim in cor-
poribus noftris omnia membra, ex quibus certa qu.x
dam officia nafcuntur,diuino quodam ordine' inter
le implicata , & colligata funt : in iisq; admirabilis il-
la confpiratiojquam ^uV^rvaiat graici vocant, cliicefcit,
ita tres ilke Philofopbiar ( ut Ariftotelis verbo vtar)
qux veritatem folam propofitam habent, licet qui-
bufdam quafi finibus fuis regantur; tamen caru vna-
quarqiic per leipram quodammodo imperfeda clb
neque altera fine alterius auxilio plene comprehen-
di poteft. complures prxterca mathematicorum no-
di ante hac explicatu difficillimi nullo negotio expc
diti eflent: atque (ut vno,' verbo complcftar) nifi
meavaideamo, traebtionem hanc meam ftudiofis
non mediocrem vtilitatem , 8c magnam volunta-
tem' allaturam efle mihi perfuafi . cum autem ad fioc
feribendum aggrelTus efisem , allatus clt ad me liber
Francifei MauroliciMeirancnfis,in quo vir illedo-
.ftifsimus , Se in iis difcipliiiis exercitatifsimus af-
firmabat fc de centro grauitatis corporum folido-
rum confcripfi/Te . cnm hoc intcllcxiflcm,fufi:inui
me paulilper ; tacitusque expciSaui , dum opus cla-

risfiminiri, qu(!m fernper honoris cauiTa nomino,
inhiccm proferretur; milii enim exploratisfimum
erat: Francifeum Maurolienm multo dofiius , &
cxquifidus hoc difciplinanim genus feriptis fiiistra
diturum . fcd cura id tardius fieret, hoc cft , ut ego
interpretor, diligentius, mihi diutius hac feriptione
non fuperledcndum effe duxiiprarfertim cum iam li-
bri Archimedis de iis , qux uehunturin aqua , opera
mea illuftrati typis excudedi eflent . nec me alia cauf
ia impuliflet , ut de centro grauitatis corporum foli-
dorum feriherem, nifi ut hac etiam ratione lux cis
quam maxime fieri pofiet afierretur . atq; id eb mihi
faciendum exifl:iiTiaui,qubd in fpem ucniebam fore,
ut cum ego exomnibus mathematicis primus, hanc
materiam explicandam fufcepillem; fi quid errati for
fchme commiflum elTet, boni uiri potius id mesde
ftudiofishominibusbenemeredi cupiditati, quam
arrogantia: afcriberent.reftabat utconfidcrarem,cui
potisfimum ex principibus uiris contemplationem
hanc,nunc primum memorix,ac literis proditam de
dicarem .harum mearum cogitationum fumma fa-
<fta,cxiftimaui nemini conucnientius de centro grani
tatis corporum opus dicari oportere, qudm Ale-
xandro Farnesio grauisfimo,ac prudentisfi-
mo Cardinali,quo in uiro fumma fortuna femper cil
fumma uirtuteccrtauit. quid enim maximein te ad-
mirari debeantjiomincs, obfcurum eft ; ufum 'ne re-

rimijCjiu pucritiir tempus extremum principium ha
buiftijSi imperioru, & ad Reges, Pe Imperarores lio-
norificeiuirsimarum Icgadoiuinr, an excellentiam
iti omni genere literarum,c]ui vix adolcfcctulusjciuac
homines iam confirmata tctatcfiimmo iludio , diu-
turnisq; laboribus didicerunt, lcicntia,&: cognitione
comprehendiffci : an confilium , fle fapientiarn in re-
gendis, 5c gubernadis Ciuitatibus, cuius grauifsimx
Icntentix in ianftifsimo Reip. Chrllianx confilio di-
dx, potius diuina oracula, qu^m fententix habitx
funt , Sc habentur, prxtermitto liberalitatem,& mu-
nificentiam tuam, quam in iludiofifsimo quoque ho
nellando quotidie magis oftendis, nc videar auribus
tuis potius,qu.W veritati feruire.quamuis a te in tot
prxclaros viros tanta beneficia collata funt, &: confe-
rutur, vt omnibus tefbatum fit, nihil tibi efle charius,
nihil iucundius, quam eximia tua libcralitate homi-
nes ad amplc.\aiKlam virtutem, licet currentes incita-
re, nihil dico decereris virtutibus tuis,qux tantx
funt,quantx ne cogitatione quidem comprehendi
polfunt. Q Liamobrem hac prxeipue de cauila te hu-
ius mcx lucubrationis patronum efle volui, quam ea,
quafoles, humanitate accipies, te enim femper ob
diuinas virtutes tuas colui , & obferuaui : nihilq; mi-
hi fuit optatius; quam tibi perfpcdum clTe meum
erga te animum; fingularemq; obferuantiam . coe-
lum igitur digito attingam, fi poli grauifiimas oc-

ciip.itioii'.''; ruas legendo Fcdcrici tiii libro aliquid
impertiri temporis non gnuiabcris ; cumqjin iis, qui
tibi Icmpcraddicti erunt, numerare . Vale.

Fcdericus Commandinus.

F E D E R ICI e O M M A N<p. I N;R

VRBINATIS LIBE-R DE CENTilb^'^
GRAVtTATlS S0CtD'ORVJC"

•D r-F F I N IT lO N E-S.b:. r/ ;

E N T R V M grai)itafIs,Pappy!l s
Alexandrinum i p odiauo :ma- _
thcmaticarurn collcdidnum
libro.jta diffiniuit-, ’ r :

A('7flp tv At Kt'vT() OV tW tfTtfy

[tetrosSidi «diJtwvVvTijVi «<)>“

0 « K«TV5r4i'ti«fi

Dicimus autem centrum grauitatis uniulcu-
iulquc corporis pitniium. quoddam intra pofi-
rum, d quo fi grauc appenfum mente coiicipia-
turjdiim fertur quiefcif,& ferua't eam, quam in
principio habebat pofitionem : neque in ipfa la-
tione circumticrtkur .

Poflumusetiam hoc modo diffinire ,'

Centrum grauitatis uniufcuiufquc' foIidEC-figiii
ra: cft pupdlum illudintra pofituro,, circa quod
undique partes aiqualium momentorum confi-
ftunt . fi enim per tale centrum ducatur plafium
figuram qubmodoeunquefccans femperiii paft

; FED. COMMANDINI

tesijsqucpdftderantes ipfam cliiiidet .

s Prifmatis, cylindri , Sc portionis cylindri axem
appello redam lineam , qua: oppofitoriim plano-
rum centra grauitatis coniungit .

5 Pyramidisiconi, Sc portionis coni axem dico li

neam ,qua:auerticead centrum grauitatis balis

^ pwdrrcitut. ’ ' ■ '

4 ■ Si pyramis, comiSj portio coni, uelconoidisfc-
Cctur plano bafi arquidiftantc, pars,qu;B eftad ba-
fnmfruidum pyramidis, coni, portionis coni , ucl
corioidis dicdur; quorum plana ^quidiftantia ,
qyic opponuntur fnnilia funt, & inarqualia : axes
ner-o funt' axium figurarum partes , qu* in ipfis
«comprehenduntur.

• P -E TITIONES.

/■ ^ 1 ', • _

I ; : SolidaJ^um.figiirariumfimilium centra grauita-
tis fimiliter funt pofita.

3 Solidis figuris limilibus , & aqualibus inter fe
aptatis, ceatra quoque grauitatis iplarum ijiter fc
aptata trimt .

THEOREMA I. PROPOSITIO I.

Omnis figur* rcdilincie in circulo deferipta ,
qua aqualibus lateribus , 3c angulis contine-

DE CENTRO GRAVIT. SCLID. i
tur, centrum grauitatiseft idem, quod circuli ceu»
trum

sit primo triangulum squilaterum abc in circulo dw
fcriptunu& diuifa aq bifariam in d, ducatur b d . eritin lu
nea bd centrum grauitatis triaguli abc, ex tertia decima
primi libri Archimedis de centro gtauitatis planorum . Et
quoniam linea ab eft squalis
linea: bc;& ad ipH dc; eftq;
bd utrique communis:trian-
gulum ab d squale erit triaq
gulo cbdi&anguli angulis s-
qualcSiqui squalibus lateri-
bus fubteiiduntur . ergo augu
Ii ad d utriq; redii fuut . quod
cum linea b d fecet a c bifa-
riam, & ad angulos redtos ; in
ipla b d eft centrum circuli ,
quare iu eadem b d linea erit
centrum grauitatis triangHli,& circuli centrum,. Similiter
diuifa ab bifariam in CiScdiuSa ce,oftendcturinipfiiutrui
que centrum contineri . ergo ca erunt in puni3:o,,in quo li-
nes b d,c e comieniuut.trianguli igitur abc centrum gr»
uitatis eft idem, quod circuli centrum .

Sit quadratum a b c d in cir-
culo deferiptum ; ®£ ducantur
a c,b d,qus conueniantin e.er-
go pundtiun e cft centrum gra
uitatis quadrati, exdecjma eiuf
dem libri Archimedis.Sed cum
omnes anguli ad a b c d redii
fmt ; erit abc femicirenius :
itemq; bed,- &: propterca li-
nea a c, bd diametri ciccuU;

1 )

S.pnmI.

s j.priinlo

corol.p^
nix terui

Ji.tertif.

• F E D. C O M M A N D r N I

quidciiiin centro conueniiiiit.idem igitur efl centrum
gniuitatis qiiadradj & circuli centrum.

Sitpcntagonum n;qiii]ateriin)j& xquiangiilum in circu-
Iq^defcriphnw abcder&iiin-
fta 'bd> bifairiamqj-iii^Fdiui/ii;
du’eatur'c f, & prodriica^nr ad
d^culi-‘drcnmfereniiam.in'' g;
quxlineam ac in h fccet: de- h
indeiungantur ac,ce.Eodeirt.
inodo ,.q’uo Aipra demonftra- ;

■hi':’:.- bimiw angulum bcfxqualcm)^ ‘
clfe 'angulo def; & angulos ■
ad fi utrofquc redeos : & idcir- -
.„•) .•i'?.;,* co Irneam cfgper circuli ceii'
trumtranfirc. Qjioniam igi-
tur latera c b,b a,& c d^d e «qualia fiint ; & arquales anguli
cba, ede: erit bafis ea bafi-ceS &l angulus bea: angulo
dee «qualis, ergo & reliquus' a cli , reliquo c ch . cfl au-
tem. ch utrique triangulo a'ph' 5 ec'Ii communis* quare
6dfis'yrv«c(djili^‘HtBalrIl'i::’<^iiilguli>quJad' hirqftbru
'»f>pnmi. interfesfe iquidifiant.

Ita^uc<^yiVi’ii‘^'eiEfi a b'd’e latera b d^ a t «quidiftantia a U
dea Ffi birarlaiiVdiitidantlir eC^enttHihi grauitatisipfius erit
f j-Archi- in linea fhjcx ultima feitil<l^ libr-iAr«hitncdis. Sedrrian-
aicdis . gyii 1) c d centrum granitati^bftlh^iheb,' c fi ergo in eadem
linea c h eft ccntrumjgraui^iiVii ttbpGzij abde, & trian-
guli b cd:hoc cft pentagoni' ipHiis centrum : & ccntnirn
circuli. Rurfusfiiuneta adibifatiamqj feefain k, “duca-
tur ekl: dcmonftrabimus in ip/a utrumque centrum in
ede. Sequiturcrgo,utpun(5tum,m quo linc« cg,cl con-
ueniuntjidcm fit centrum ■eirculi 3 & centrum grauitatis
“ ’ ■ pentagoni . ; .1 • 1

Sit hexagonum ab c d e f «quilaterum,& arquiangulum
IQ drculo dc/igiucum i iunganturq; b d^ac; & bifariam fc-

da

DE CENTRO GRAVIT. SOLID. 5

fta b d in g pundo,diicamr cg; & protrahatur ad circuli
ufquc circumferentiamiquic fecet a c iu h. Similiter conchi
demus c g per centrum circuli tranfirc : & bifariam fccarc
lineam ae;itemq-> lineas bdjae interfeaquidiftantcsciTe,
Cum igitur c g per centrum circuji tranfeat ; & ad pun< 3 :u
f pcrucniatneccflecft^qudd edef fit dimidium circumlc
rentia: circu!i.Q_iiarc in cadem
diametro c f erunt centra gra
iiitatis triangulorum b c d,
a fe, Scquadrilaterl abde, cx
quibus conftat hexagonum ab
c d cf perfpiciium eftigiturin
ipfa c felTc circuli centrum , &
centrum graui tatis hexagoni ,

Rurfus diida altera diametro
adjcifdem rationibus oRcnde-
musin ipfi utrumque tetrum
inciTc . Centrum ergo grauita-
tishexagoni5& centrum circuli idem erit.

Sit hcptagoniim a b c d e fg
gulum in circulo deferiptum:
& iungantur cc , b f, ag .• di-
uilaautcm c c bifiriam in pii
«flo h:&iiinda dh produca-
tur in k . non aliter demon-
ftrabimusin Uncad k efle cen
trum circuli , & centrum gra-
iiitatis trianguli c d e , tra-
pcidorum bcef, abfg,hoc
cR centrum totius heptago-
ni ; & rurfus eadem centra in

jcquilatcrum atque rqman

i

1

alia diametro cl limiliterdu-

I j. Arclii
medis. .
If. ciUfdi’

da contineri . Qiiarc & centrum grauitatis heptagoni, &
centrum circuli in idcmpundumconucniunt. Eodem mo

F E D. C O M M A N .D I N I .

ito in reliquis figuris ®quilateris,& ;rquiangulis,qua? in cir-
culo defcribuiitur , probabimus cetrum grauiratis carum ,
& centrum circuli idem elie . quod quidem dcmonllrare
oportebat .

Ex ejuibus apparet cuiuslibet figur* rei5tiline*
in circulo plane deferiptx centrum grauitatis ide
efle, quod & circuli centrum .

7v«fiV‘!r Figuram in circulo plane deferiptam appella-
mus, cuiufmodi cft ca,qutc in duodecimo clemcn
torum libro, propofitionc fecunda deferibitur.
ex lequalibus enim lateribus , & angulis conflare
perfpicuum eft .

THEOREMA II. PROPOSITIO II.

Omnis figura: redilinea; in ellipfi plane deferi-
pta: centrum grauitatis cft idem , quod cllipfis
centrum.

Quo modo figura redtilinea in ellipfi plane deferibatur ,
docuimus in commentarijs in quintam propoficionem li-
bri Archimedis de conoidibusj&fphfcroidibus.

Sitellipfis abcdjcuiusniaioraxis ac, minor b d; iun-
gaiiturq; a b, b c , c cl , d a : & bifariam djiiidanrur in piin-
6i:is c fgli. a centro autem, quod fit k dudie line<T kc,k/i
k g , k h urqiie ad rc(!il;ioncm in punda 1 m n o protrahan-
tur : & iungantur J m , m n , no, o 1 , ita ut a c fccct li-
neas I o, m n , in z 0 piindtis , Se b d fccct I m, o n in v. ''k*
erunt 1 k , k n linea una , itemque linea una ipfc m k , k o :
& linea; b a, cd aquidifiabunt liiicjc mo;& bc , ad ipli
1 11 . rurfiis 1 o , m n axi b d iuquidifhibunt : & ! m ,

o a

DE CENTRO GRAVIT. SOLID. 4

o n ipfi a c. Quoniam enim triangulorum a b Jc^a d k,latus
bk ellieqiialc lateri kcl,& ak iitriquecommiincjangiiliq,'
ad k rc(5ti bafis ab bafi a reliqui anguli reliquis an- s. prliui
gulisarquales erunt.eadcm quoque ratione oEeiidctur b c
jcqualis cd; & a b ipl3

b c. quare omnes a b, p *!_ y

bc,cd,da func.-cqua-

les. & quoniam anguli ^ ®

ad a xqiiales funtangu j\ /k

lis ad c; erunt anguli b fi ^)\ \ / -

ac,acd coaltcrni inter ^

fejEqualesjitemqi dac, // / \ \\ // \)|

a c b . ergo c d ipE b a ; \Y_ ^ :.y.. _ fi' ^

& a d ipR b c jequidi- f ^'//\\^ '1

Eat, Atuero cum linere /7 \\ /Jf

ab, cd interfe arqiiidi- ^^7

flantes bifariam fecen- \A / \ //

turin pLindis e gicritli \/^\/ -V \/‘‘' w

nea lekgn diameter fc

«Rionis, & linea una, ex

demondratis in uigcll-

maoiffaua fecundi coni

p

fl

\

A ' »7

-\-

7

m

eorum. Etcadem rationclincanna m fle h o.Suntaute ad,
bc interfcleajquales, ^ ;equididantcs . quare carum di-
midia: ah,briitemq; h d,fe;& quajipfasconiimguntrcftac 55 -vrimi;
line.T aequales, &a:quidi/lantcs criint.a:quidijQat igitur ba,
c d diametro m o:& pariter a d,b c ipfi 1 n arquidi/lare o-
ficndcmus.Siigiturmancrcdiamctro ac intelligatur abe
portio ellipfis ad portionem ade nioueri,cumprimum b
applicuerit ad d,c 6 gruct tota portio toti portioni, lincaq;
ba linea; ad;& b c ipfi cd congruet: pun(fi:uiiiucro e ca-
detin hjfin g:& linea ke inlincam kli:& kfin kg.qua
rc& el in ho,ct fm in gn.Atipfa It. in zoi et n\<p intfiii
x:adet.congructigitiir triangulum Ikz triangulo okzset

F E i>. C O M M A N D I N I

15. Archi
!lii*dis .

Vitini.T.

traiiguluin mkfp tmngulo n krf.crgoanguli 1 zk , oz k,
DKfjkj n 'j> k arqnalcs funt, ac rcAi .quod cum etiam rccH
fine, qui ad k ^ rfquididabiint linex 1 0 , ni n axi b d , Ik ira
dcniondrabuntur hn,o n ipfi ac xqiiididarc . lUirfus fi
iungantur al, Ib, b m, m c, en, n d, do, oa: & bifariam di
uidantuna centro autem k addiuifioiiesdudtxlinea: pro-
trahantur urqucadicdionem in puiitila pqrs tuxy;& po
flrcmo p y,q x,r n,s tjq r,p s,y r,x u coniunganrur . Simili-
ter ofieiuicnnis liiicas
py,qx,rUjSt axi bdx-
quidifiantes effe : 5: q r,
p s , y t j X u xquidifian-
tcsipfi ac. Itaque dico
harum figurarum in cl-
lipfi dcfcripraruni cen-
rrum grauitatis elicpu-
dum kjideni quod ck cl
lipfis centrum . quadri-
latcri enim a b c d cen-
trum efi kjcx dccimac-
iufdcm libri Archime-
dis, quippe eu in eo om
lies diametri 'c5ueniat,

Sedin figura albmen
do, quoniam trianguli
alb centrum grauitatis
cfiin linea lc;trapc 2 ijq; abmo centrum in linea ek.-trapc
zij omed in kg;& trianguli end inipla gii:[critmagnitii
dinis ex bis omnibus confiantisjindcliccttotius figurx cen
trurn grauitatis in linea ,1 n : & ob eandem caufiam in linea
o m.cfi enim trianguli a 6 d centrum in linea o h : trai^ezij’
aln d in h kitrapezij 1 ben in ki:&trianguli bmc in f'm.
cum ergo figurx albmen do centrum grauitatis fitinlir
Jicaln,& in linea omjeritccacrum ipfiuspunftiim k,in

quo

t) E CENTRO ORAVIT. SOLID. y

quo fdlicet In, oin coiiucniunt . PoRrcmoin Egiira
a p 1 q b r iTi s c t n u d X o y cciimini gi-aaitatis triaii
giili pay, & trapezii p 1 oy eftin linea a z.- trapeziorum
liero lqxo,qbdx centrum eftin linea zk:6e trapezioru
b r u dpi- m n u in k c{) : & denique trapezii m s t n; & triangii
li s c t in ^ c. quare magnitudinis exhis compontit centru
in linea a c confiftit.RuiTus trianguli qbr, ^ trapezii q l
m r centrum cft in linea b : trapeziorum l p s m , p a c s,
aytc,yont in linea cp : trapcziiqj oxun, & trianguli
xdu centrum in 4^ d. totius ergo magnitudinis centrum
eftin linea b d. ex quo iequitur, centrum grauitatis figur»
a p 1 q b r m s c t n u d X o y efle pun<ftu K , lineis fcilicct a c,
b d commune,qu£ omnia demonftrare oportebat.

THEOREMA IIR PROPOSITIO HI.

Cuiuslibet portio-
nis circuli, 8c cllipfis,
qua.’ dimidia non fit
maior, centrum graui
tatis in portionis dia-
metro confiftit.

HOC codemprorftis
modo dcnionftrabitur ,
quo in libro de centro gra
uitatis planorum ab Ar-
chimede dcmoiiftratii eft,
in portione cotentareda
linea, & redanguli coni fe
dionc grauitatis cetrum
efle in diametro portio-
nis. Etita dcmonftrari po

sp.«iuinti
apud Ca

FED. COMMANDINI

tcflin portione, qu,T: refla linea &ol>tufianguli coni fe-
ftione , fcu hyperbolacontinetur .

THEOREMA IIII. PROPOSITIO IIII.

I N circulo Sc ellrpfi idem eft figura: Sr graui-
tatis centrum .

SIT circulus, iiel ellipfis,cuius centrum a . Dico a gra-
uitatis quoque ccnttum elVe. Si enim fieri poceft, fic b cen-
trum graiiitatis : & iunda a b extra figuram in c produca
tiir: quamuero proportionem habet linea ca ad ab, ha-
beat circulus a ad alium' circulum, in quo d ; uel ellipfis ad
aliam cllipfim:&incirculo,ueI cllipfi figura redilinea pla-
ne deferibatur adeo, ut tandem relinquantur portiones
quordam minores circulo, uel ellipfidjqujE figura fit c f g
h k l m ri . Illud uero in circulo fieri polle cx duodecimo
elementorum libro,propolirioiic fecunda manifefic con-
fiat; at in cllipfi nos dcmonftra-
ninms in commentariis in quin-
tam propofitionem Archimedis
de conoidibus, & fpharroidibus.
erit igitur a centrum graiiitatis
ipfius figuriE,quod proxime ofte
tliiTiiis.l taque quoniam circulus
a ad circulum d ; uel ellipfis a ad
cllipfim d eandemproportione
habet, quam linea c a ad a b ;
portiones uero funt minores cir
culo ucl cllipfi d; habebit circii-
lLis,!^'] ellipfis ad portiones ma-
iorem proportionem, quam c a
ad a b: & tfiiiidendo figura redi-
linea c f g h m n ad portiones

habebit

DE CENTRO GRA VIT.SOLID. 6

habebit maiorem proportione ,
quam c b ad b a . fiat o b ad b a ,
ut figura redrilinea ad portio-
nes . cum igitur a circulo , uel el-
lipfi, cuius grauitatis centrum
eft b , auferatur figura reftilinea
efghklm UjCnius centrum a;
reliqu® magnitudinis ex portio
nibus compofitce centrum graui
tatis erit in linea a b produila,
& in punfio o, extra figuram po
lito, quod quidem fieri nullo mo
do poffe perlpicuum eft . fequi-
tur ergo, ut circuli & ellipfis cen
trum grauitatis fit pumftum a,
idem quod figurx centrum .

ALITER.

Sit circulus, uel ellipfis a b c d,
cuius diameter db,& centrum e;ducaturq; per e refla !£
nea a c, fccans ipPam d b aJ reflos angulos . erunt a d c ,
a b c circuli , uel ellipfis dimidi.T portiones . Itaque quo-

niam por
tiois a d c
cetru gra-
uitatis eft
in diame-
tro d e : &
portionis
ab c cen-
trum eft I
ipfaeb:ro
tius circu

Ii,ucl ellipfis grauitatis centrum eritin diametro d b,
Sitauteimpordonis a d ccetrumgrauitatisif;&fumatur

£ >

6. Arch^-

r E D . COMMANDI N I

fn !in e h piinriri g^iia nt g c rcqualis e f. erit g por-
t-onij' a b c ccntruin . narn li hx’ portiones, qii;'e j^qiiak-s
&fimi]esrnnt5intcrrereap)t';ntur, ita ut be caciatin d c,
&piinL^tiim b in d cadet, & g in f: iiguris autem azqiiali-
bus,& fimilibus in ter fc aptaris , centra quoque grauitatis
iplarum inter fc aptata erunt, exquintapetitione Archi-
medis in libro de centro grauitatis planorum. Quare cum
portionis a d c centrum grauitatis fit f : & portionis
a b c centrum g; magnitudinisjquse ex utrirqiie efficitur:
hoc cfl circuli iielellipfis grauitatis centrum in medio li-
ncu’ fg,qiiodefl: c,confidet,cx quarta propofitioneeiuf-
dem libri Archimedis . ergo circuli, iicl cljipfis centrum
grauitatis cftidem , quod dgiira: centrum . atqueilliul eii,
quod demondrare oportebat,

£x quibus Icquitur portionis circuli , ucl cllip-
fisjqua’ dimidia maior fit, centrum grauitatis in
diametro quoque ipfius confiftcre.

l

Sit enim maior portio a b c, cuius diameter b d,& com-
pleatur circulus, ueldlipfis,utportioreliquafit a e Cjdia

metrum

7

PE CENTRO GRAVIT.SOLID.

ttietmm habens e d. Quoniam igitur circuli iicl ciliplis
a e c b grauitatis centrum eftin diametro be,& portio-:
nis a e c centrum in linea cd; rcliquxportionisjuidelicet
abe centrum grauitatis in ipfa bd confidat ncceirceft, ex
odauapropofitione eiiifdcra.

THEOREMA V. PROPOSITIO V.

S I prifma fececur plano oppofids planis ecqui
diftante , fedio erit figura aequalis & fimilis ei ,
qua: eft oppofitorum planorum , centrum graui
tatis in axe habens.

Sitprifiiia,iiiqiio plana oppofita fint triangulaabc ,
d e fj axis g h : & fccetiir plano iam didis planis jcquidilla
. te; quod faciat icdionem ic lm;&axiinpudo n occurrat.
Dico m triangulum aequale efle 5 & fimile triangulis a b c
d e f; atque eius grauitatis centrum efiepuiidum n. Qtio-
niamenim plana abe
Klmjeqiiidiftantiareca ^
tiir n plano a e ; reda: li-
nea: ab, Kl) qusfiintip
forum comunes Icdio-
nes inter fc fc mquidi-
fiant . Scdxqiiidifiant
a d, b c ; cum a c fitpara
Iclogrammum, ex prifi-
matis diffinitione.ergo
& al parallclogramnui
erit ; & propterea linea
^1, ipfi a b aqualis . Si-
militer demonftrabitur
1 m aquidiftans,^ requa
lisbcj&iUK ipfi c a ,

FED. COMMANDINI

to. untle
duii

lo.undc-

cinu'

4. fczti

per f.pe-
titionem
ArchiQie
(lis.

Itaque (|uoniain diiic K 1, 1 ni fefe tangentes , duab us
lineis fefe tangentibus ab, b cxqiiicliftaiiti nec funtin e o-
dem plano : angulus k Im squalis eft angulo ab c:& ita an
gulus 1 m K , angulo b c a,& ni k 1 ipfi c a b squalis prob abi
tur. ttiangulum ergo K 1 m eftsquale,&fimile triangulo
a b c . quare & triangulo d c f. Ducatur linea c g o,& per ip
fam,& per c fducatur planum fecans prifina, cuius & paral
kiogramnii ae communis fetflio fit opq. tranfibitlinca
f'q pei h , & m p per n . nam cum plana squidiftaiida feceii
tura plano cq, communes eorum fcdliones ego, m p> fq
fibi ipfis squidiftabunt.Scd & squidiftant a b , k l,d e . an-
guli ergoaoe, Kpm, dqf interiesqualesiunt: &funt
«quales qui adpunda a/^d confiituuntur.quare & reliqui
reliquis «qualcsi& triangula a c o, K m p, d fq inter ic fimi
lia erunt . Vtigiturcaadao, itafdaddq: & permutando
u t c a ad f d , i ta a o ad d q . cft autem c a «qualis fd . ergo &
a o ipfi d q . cadcin quoque ratione & a o ipfi K p «qualis
dcmonfirabitur.ltaqiiefi triangula, a bc,d e f «qualia
fimilia inter fc aptetur ,
cadetiinea fqin lineam
ego. Scd&: centrugra
iiitatis h in g centru ca-
det. trafibit igitur linea
fq per h : &: planum per
co & c f duCtuper axe
g h duccturddcircoqi li
neam mpetia per n tra
fircncccfic erit. Qiio-
niam ergo fh, c g «qua-
les funt,&«quidifl:atcs;
itemq; li q, g o; re6l« li-
ne«,qu« i]:)/as conedut
c m f, gn h,o p q «qiia-
ks & «quidiilitcs crfit .

«qui-

DE CENTRO GRAVIT.SOLID. 8

squidiftant autem ego, mnp. ergo parallelograma Tunt

0 n, g ni, & linea m n squalis c g; & n p ipfi g o. aptatis igi'
tur K 1 m,a b c triagulis,qus squalia & fimilia sut;linca m p
in c o,& pumSum n in g cadet. Q^od cu g fit centrum gra-
uitatis trianguli abc,&n trianguli k Im grauitatis cen-
trum erit:id,quod demonftrandum relinquebatur . Simili
ratione idem contingere demonftrabimus in aliis prifma-
tlbus,liuequadrilatera,iiue plutilatera habeant plana,
qus opponuntur.

COROLLARIVM.

E X iam demonftratis perfpicue apparet, cuius
libctprifmatis axcm,parallelogrammonuTi lateri
bus, qua: ab oppofitis planis ducfitur.xquidiftare.

THEOREMA VI. PROPOSITIO VI.

Cuiuslibet prifraatis centrum grauitatis eftiil
plano, quod oppofitis planis xquidiflans, reli-
quorum planorum latera bifariam diuidit .

Sitprifma, in quoplana , quee opponuntur fint trian-
gula a c c, b d f: & parallclogrammorum latera ab, c d ,
cfbduriaindiuidatur in puiiAis gh k: per diuifiones au-
tem planum ducatur ; cuius fcdio figura g h ii . eritlinca
gh arquidiftanslincis ac, bd &hk ipfis cc,df. qiiareex
dccimaquinta undecimi elementorum, planum illiidpla
nis a c c, bdf a^quididabit ,& faciet feilionem figu-
ram ipfis aqualem, &fimilcm, ut proxime demonflra-
uimus . Dico centrum grauitatis priimatis cfTe in plano
gh K . Si enim fieri potefl:, fit eius centrum I : & ducatur

1 m ufqiie ad planum g h k, qua ipfi a b aquuiiUct-

$}. prhni

f.hum*

r. ilecuiu'

f huius

FED. COMMANDINI

ergo Unca a g continenter in duas partes a?qiialesdiiii-
ia j relinquetur tadcin pars aliqua ii g , qurc minor erit 1 m.
Vtraque nero linearum a g , g b diuidatur in partes aequa-
les ipli n g: & perpundaeuuilioniimplana oppofitis pla-
nis aiquidiftanria ducantur. erunt fedliones hgnrae xqua-
lcs,ac limiles iplivS a e e, b d f: ik totum prifina diiuTuni erit
in prifmaiT* xqualia,& fimilia ; qiix cum inter Ic congruat;
& grauitatis centra iibiipfis congruenda, reipondenciaq;
habebunt . Itaq:
iiint magniciidi-

nes quxdaxqua- ^

les ipfinhj&nu-
meropares, qua-
rum centra gra-
iiitatisin cadere
d:a linea confd-
tuuntur- dux lie-
ro medix xqua-
lesfunti&qux ex
iitraqiic parte i-
pfarum limili —
terxqualcs;&x-
qualcs redae li-
ne<x , qux inter
grauitatis centra
intcriiciuntiu* .
quare ex corolla-
rio qiiintx pro-
pofitionis primi
libri Archimedis
de centro graui-
tatis planorum ; magnitudinis ex his omnibus compofitx
centrum grauitatis cfrin medio linex , qux' magnitudi-
num mediarum centra coniungit . at qui non ita res ha-
bet,

\

\i

DE CENTRO ORAVIT. SOI.ID. 9

bet, fi quidem I extra medias magnitudines pofitum eft,
Conftatigitur centrum grauitatis prifmatis effein plano

f

gh Ic , quod nos demonftrandum proporuimus . At fi op-
pofi ta plana in prifinatc fin t quadrilatcra,ucl plurilatera ,
eadem eritin omnibus dcmonftratio.

THEOREMA’ VII. PROPOSITIO VII.

Cuiuslibet cylindri, 8c cuiuslibet cylindri por '
tionis centrum grauitatis eft in plano, quod bafi-
bus a;quidiftans,parallelogrammi per axem late-
ra bifariam fecat,

- g -

FED. COMMA NDiNr

SIT cyliiidrusjucl cylindd portio a c: apiano per a"
xcin diido fecetur i cuius fedio Ci t parallelugrammuim a b
e d : & bifariam diuifis a d,b e parallclogrammi lateribus,
per diiiifionum puncta e f planum bafi jEqiiidiftans duca-
tur j quod faciet fciflioiicmdi^cylindro quidem circulum
Kqiialcm iis, qui funtiii bafibus , ut demonftraiiit Serenus
in iibro cy]indricorum,propofirione quintadn cylindri
liero portione ellipfim aqualem , & fimilcm eis , qua; fuiit
in oppofitis planis, quod nos
demonftrauimus in commen
tariis in librum Archimedis
de conoidibus , & /pha^roidi-
bus . Dico centrum grauita-
tis cylindri , uel cylindri por-
tionis effein plano e f. Si en?
iicri porc/t, Hteentrumg; &
ducatur g h ipfi a d aqiiidi-
ftans, ufquc ad e f planum .

Itaque linea a e continenter
diuifa bifariam , erit tandem
pars aliqua ipfius k e , rninor
g h . Diuidantiir ergo lincjc
a e, e d in partes xquolcs ipfi
/^e:& per diuifiones plana ba
fibus ajquidifiantia ducatur,
chintiam fedlionesjhgura! re-
quales, & fimiles cis,qu;e funt
in bafibus : atque erit cylindr^^s in cylindros dinifus : & cy
Ihidri portio in portiones aquales, & flniilcs ipfi k f. reli-
qua funiliterj ut fiiperius in prifmate concludentur ..

THEO-

DE CENTRO GRA VIT.S.OLID- io

THEOREMA VIII. PROPOSITIO VIII.

Cuiuslibet prifmatis,&: cuiuslibet cylindri, uel
cylindri portionis grauitatis centrum in medio
jpfius axis confidit.

Sit primum a fprifma sequicliflantibiis planis contentu»
quod Iblidum parallclepipcdiim appellatur : & oppolito-.
rum planorum c f,a h,a a, f glatera bifariam diuidaiitur in
pimdis klmnopqrstiix; & per diuifiones ducantur
plana k_ n, o r, s x. communes autem eorum planorum fe-
d:ionesfintIinc2Ey z, qnreinpimdto i^conueniat,
erit ex decima ciufdcm libri Archimedis parallelogrammt
C fccutrum grauitatis punflum yiparaUcIogrammi a h

«huius

J.liuius

FE D. CO VM AND INI

ccntinim 2 : parallelo^rain m i i ei,-': paralldogrammi fgjf :
parallclograinmi dh , ^ ^
parallelogra^himi egeentru
4: atque ciit r/pundtum me
dium uniufcuiurqiic axis, iii
dclicct cius linejE, qua: oppo
fitorum planoru centra coii
iiingit . Dico ce centrum efle
grauitatis ipfiiis folidi . cft
enim , ut dcmonftraiiimus ,
folidi a fccntrum grauitatis
in plano K n i quod oppofi-
tis planis a d,g frcquidilbns
reliquorum, ■]>Ianorum late-
ra bifariam diuidic : & /imili
ratione idem centrum cdin plano o rjxqiudiflantcplanis
a c,b rop]K>fitis . ergo in communi ipfbrum fcdione ; iii-
dclicctinlincay z. Sed cft etiam iiiplano tu, quodquidc
y 2 fecatin 01. Conftatigitur centrum grauitatis folidi effe
punitum e?, medium fcilicetaxiiim , hoc eft linearum, qu»
planotuniGppofitorumictiiTtracODitogtfnt». ' d
Sit aliud primaa fi&in eopIana,qiicE opponuntur,tri-
^igiita a b a,d q;ybiferi'am.'pat^ldqgi:^AmmdriUm

lateribus a d,b e, e f in punitis g h^,pcr'diuiftones planu
ducatur, quod' dp[T(i>fitis planis squidiftans faciet feitione
triangulum gliK ecquale, & fimileipfis abe, def. Rurfiis
{.(iuidatiir ab bifariam in 1: & iundla cl pcripfam, & per
e K f' planum ducatur prifma fecans, cuius, & parallelogra
mi -a. e communis fedtio ftt 1 m n . diuidet punitum m li-
n?am gh bifariam ita n diuidctlincam de: quoniam
triangula, a e fgic ni,dfn a:qualia,funt,&fimilia,utfupra
dcmon.ftrauinuis . iani Cx iis,qun: tradita funt, conftat cen
ttum greiiitatisprirmatisin plano gh k contineri.Dico
dic ia linea h m. Si enim fieripoccft,fit 0 centrum 5,

&pcr

y

/a

\

i

e

-L

.X-

l

Y

3C

11

1,/'^

t

r)E CENTKO GRAVIT.SOIID. ix

^peroducatur op adkmipfi hg ccquididans. Itaque Ii
nea h m bifaria ufque c6 diuidatur, quoad reliqua fic pars
qu.tdam qm, minor o p. deinde hmjmg diuidaiitiir in
partes «quales ipfi mq: & per diuifiones lineor ipfi ni IC
«qiiidiftantes ducantur . punda uero, in quibus h« trian-
gulorum latera recantjconiungantur diidis lineis r s , t u,

xyjqunrbafi gh «quidiftabimt. Quoniain enimlincitgZj
Ji « runt«quales:itemqi «quales gm,mh : ut mg ad gz,
ita critm hjad Ii «i & diuidendo,ut m z ad z gdta in « ad
tfb.Sedutmzad 2 g,ita kr ad rg;d:utm a ad « h,itaks
ad sb . quare ut A, r ad rg, ita K s adsh . «quidibantigitur
ijitcrfelc rs^gh. eadem quoque ratione demon, (inibimus

2-f.ixtf;
i.lcxti .

h> Texti

i: tiel 1 1 ',
quinti.

FEB. COMMANDINI

tiijxy ipfi g h xqiiidiftare. Et quoniam triangula , qiix
fiunt aiincis Ky,yu,us,sh;Eqnali?.fiintinterfc,&fimilia
triangulo Kmh: habebit triangulmn Kmh ad triangulii
K fy duplam proportionem ciiis,qu;i: eftlinex k h ad iC y.
fcd k h pofitaeft Cjuadntplaiplius k y. ergo trianguUiiu
Ht.m h ad triangulum K y cadem proportionem habebit,
quamfcxdccimadunu: & ad qrtatiior triangula k J'y, y u,
us,s» h habtbireandem,quamfcxdccimadquatuor,hoc
eft qtrant h K ad /v.y .& firrrilitcr eandem habere demorriira
bittir trian-

rit h m ad m
q.Si igitur in

triangulis ab c,d c fdcrcribairtur figura- fimilcs ci,qa,v de-
fcriptatftin gh K triangulo :&pcr lineas fihirdjtonden-
tesplaira ducantur .-totum prifiria a f ditiifum critin tria
folidaiiaralick-pipcda y7,u ^sz, quorum baresfrmtxqua
lc.s & fimilcs ipli.s parallclogramtnis y 7,u(?., s z ; &in odio
prifina ta g 2 r, r t, 1 7 x, x J' K, /t.cC y, y ti.tr s,s « h ; quorum
itctir bafes xqualc-s,& fimilcs firirt didtis triangulis ; altitu-
do autem iri omnibus, totius prifmatis altitudini squalis .

DE CENTRO GRA VIT. SOLID. iz

Ifaquefolidiparallelepipedi yy centrum graiiitatiscft iii
linea J\'c.‘folidiuj?= centrum eftin linea i nt&folidi s z inii
nea « m,quje quidem lineae axes funt, cum planorum oppo
litorum centraconiungant. ergo magnitudinis ex his foli
dis compofitcC centrum grauitatis ellin linea l' m,qiiod Iit
e i & iunda f) o producatur : a pun^fio autem h ducatur h n
ipfi m/;.a:quidiftanS;,quceciim 9 o in p conueniat.triangu
Ium igitur gh/^ ad omnia triangula gzrji-fltjtoXjXtMc,
y,y u,u S 5 S a h eandem habet proportionem., quam h ni
ad mq;hoceft,quam (j.9 adfl A:namfi hm,uO produci in
telliganturjquoufque coeant; erit ob linearum qy,m
quklidantiam,uthqadqm,ita(jt AadadA9 :&:coinponen
do , ut h m ad m q, ita p 9 ad t) a . linea uero ? o maior cli,
quam 9 Athabebit igitur p 9 ad 9 A maiorem proportio-
ncm,quam ad 9 o. quare triangulum etiam g h k ad omnia
iam dida triangulamaioremproportionehabebit, quam
p9ad9o.feduttriangiiiri ghx adomniatnangiila>itato-
tuprifma afadoinniaprirmatag 2 r,r^t,t 7 X,xc!'K,K J^y,
y u,u SjS ah : quoniam enim folidaparallelcpipedaxqueal
ta,candem inter fc proportionem habent, quam bafes ; ut
ex trigefimafccunda undecimi elementorum condat, funt
uutem folidaparaUc-lcpipcdaprifinatum triangulares ba-
les habentium dupla - fequitur,iit etiam huiufmodi prid-
mata inter fc hntjicut eorum bafes. ergo totum prilhia ad
omnia prilinata maiorem proportioiiem habet , quam p 9
ad 9 o: & diuidendo folidaparallelepipcday 7,11 jbjS z ad o-
mniaprifinataproportionem habent maiorenisquam po
ado liat V o ado yjUtfolidaparalicIcpipeday^jU ^jS 2 ad
omniaprifmata. Itaque cum aprifmatc af, cuius cetram
grauitatis ell o,aiifcratur magnitudo exfolidis parallcicpx
pedis y^ ,u (l.,s z conflans : atque ipfius grauitatis cendrutu
Iit 9 : reliquaiinagnitiidinis, qujecx omnibus prifinatibus
conflat, grauitatis centrum critin linea 9 o produ 6 ta:&
inpuncio y,cxodaua propoiitione eiufdtm libriArdii-

s.cjuinti.

18- iim!e
cimi

3 5-.(iuinti

io.qtiititf
apud Ca
panum .

FED. COMMANUINI

medis . ergo pimdhum v extra p rifma a f pofitum, centrii
erit magnitudinis copolite ex omnibus prifinatibiis gzr,
r fi t,t r x,x f k,k Sy,y u,n s,s u ii, quod fieri nullo modo po
tdl. efc enim ex diffinitione cent i urn grauitatis folid^ figii
ra: intraiplam poli tum, non extra. quare rdinq^uitur,ut ce
triim grauitatis prifmatis fit in linea K m. Rurlus b c bifa-
riam in f diuidatur ; & duvfia a s , periplam , & per lineam
a g d plan um ducatur ; quod prifma lecet : fkciatq; in paral
lelogrammo faffeflionem Itt diuidetpmidlum-Tr lineam
quoque c f bifariam : & erit p lani eius , & trianguli g h K
communis fedlio gujquodpudlumiriumedio lineic liK

pofitum fi t . Similiter demoufirabimus centrum grauita-
tisprirmatisinipfa gu inelfe. fitautem planorum c fn 1,
ad X / communis feriio linea po-TjquK quidem prifinatis
axis erit, cum tran/eatpcr centra grauitatis triangulorum
a b c , g h K, d e f,cx quartadccima ciufdem . ergo centrum
grauitatis prifinaris a f eft pundlum u , centrum fcilicet

trianguli

15

DE CENTRO ORA VIT. S OLI D.

trianguli g h K, & ipiius p t axis medium .

■ Sit prilma ag, cuius oppofita planaiint quadrilatera
abed, efgh;fecenturqiae, bf, cg, dh bilariam:&perdi-
difiones planum ducaturjquod feiiioncm faciat quadrila-
terum K 1 m n . Deinde iuncla a c per lineas _a c, a e ducatur
planum fecas prifma,quodipfumdiuidctin duoprifmata
triangulares bafeshabentiaabcefg, adcehg; Sintaute-
trian gulorum a b c , e f g gra-
uitatis centra o p ; & triangu-
lorum a d c , e h g centra q r : ^
iunganturq; op, q r; qua: pla-
no y ni n occurrant in pun-
flis s t . erit ex iis,qua: demon
ftraiiimuSjpundlum s grauita
tis centrum trianguli k 1 m; &
ipfius prifmatis a b c e f'g:pun
dtum uero t centrum grauita k
tis trianguli K n ra, & prifina-
tis ade, ehg. iumftis igitur
o q, pr, s t, eritinlincao qce
trum grauitatis quadrilateri
abcdjqiiodfitu: &inlinca
p r cctrum quadrilateri c fg h ^
fit autem x. denique iungatur
ux, qua: fccetiincam ftin y.fe
cabit enim cum fint in eodem
plano:atqi erit y grauitatis centrum quadrilateri Klmn.
Dico idem pundlum y centrum quoque grauitatis dfe to-
tius prifmatis . Quoniam enim quadri lateri k 1 m n graui-
tatis centrum eft y: linea s y ad y t eandem proportionem
habebitjquam triangulum ic n m ad triangulum kl m,ex S
Archimedis de centro grauitatis planorum. Vt autem tria
gulum K n m ad ipfum x 1 m,hoc eil ut triangulum a d c ad
triangulum a bcjxqualia enim funt, ita prilma a d c ehg-

D

FED. COMMANDINI

adprifinaab c efg. quare lmeasyad 3 rteandem propor-
tionem habctjouain prifina adcehgad prilina ab c e fg .
Sedprirmatis ab ce tg centrum grauitatis efts : & prifma-
tis adcehgcentnimt. magnitudinis igitur ex his compo
fit-Ejhoc eft totius prifinatis ag centrum grauitatis eft pun
Cium y ; medium fcilicct ^xis u x, qui oppofitorum plano-
rum eentraconiungit. , ,

Kurfus fit prifma bafim habens pentagonum a b c d e :
& quod ei opponitur fit fgh£l:fec enturq; af,bg,ch,
d it» e 1 birariam;& per diiufiones dudlo plano, feaio fit pe
tagonu ni n o p q . deinde iumSa e b per lineas 1 e , e b aliud
planum ducatur, diuidesprif
nia a 1{ in dno prifinatapn prif
mafcilicet al, cuius plana op-
pofitafinttriangulaabc fgl:

& in prima b cuius plana op >
pofitafintquadrilatcrabcd e
ghlth Sinthutem triangulo-.
rumabe,rgl centra grauita-;
tis piihSa r f: & b c d e , g h y
quadrilaterorum centra t u
iunganturqj r s, t u occurren-
tes plano m n o p q in pun ftis >
xy . & itidem iungatur r t, fu,-
X y. erit in linea r t cetrum gra
lutatis pentagoni abede;
quod fit i: & in linea fucen-
trum pentagoni fg h K hfitau
tem j ; & ducatur z j,:, qua: di-
iio plano in 4 occurrat. Itaq;
pundum X eft centrum graui
tatis trianguli mnq, acprii^
matis a 1 : & y grauitatis centrum quadrilateri n o p q , ac :
prifinatis b k. quarey centrum erit pentagoni m n o p q.6c,

fiinilitcr

DE CENTRO GRAVIT-SOLlDi 14

(imiliterdemonflrabitur totius prilmatisa K grauitatis e'f
fe centrum . Simili ratione & in aliis prifmatibus illud
idem lacile demonftrabitur . Quo autem padlo in omni
figura reftilinea centrum grauitatis inueniatur, docuimus
in commentariis in fextam propolitioucm Archime^s de
quadratura parabola.

Sit cylindrus, uel cylindri portio c e cuius axis a b ; fece*
turqi plano per axem duilo ; quod feaionem faciat paral-
Iclogrammum c d e f : & diuifis c f, d e bifariam in puiifliis

gh, per ea ducatur planum ba(i squidifiaiis . erit CeStlo g'h
circulujjuel ellipfis, centrum habens in axcjquod fit Kiat-.
queeruntexiis, qu® demonfirauimus , centra grauitatis'
planorum oppoll torum punSa a b: & plani g h ipfum
quo quidem plano eft centrum grauitatis cylindri , uel cy-
lindri portionis. Dico pundlum K cylindri quoque, ud cy
lindri portionis grauitatis centrum elfe. Si enim fieri po*.
teft, fit 1 centrum: ducaturq; kl, Sc extra figuram in mpro-,
ducatur . quam ucro proportionem habctlinca m ii ad W

D »

COMMVN.DTNI

liabcar circulus, uel ellipfis g Imi aliuci Tpaciuin, in quo :
&in circulo, ud ellipfi plane defcribatur rc(3lilinea Hgiira*
ita uttacieni relinquatur pordones’minores Ipaciou^ qu^
fitopgqrsh t r:dercriptaqi fimili figura in oppofitis pla^
uis c d, f e, per lineas fibi ipfis relj^ondentes plana ducamri
Itaque cylindrus , uel cvlindriportio diuiditurinprifiiia>
cuius quidem bafis eftngura redtilineaiam dida,centrum
que grauitatispiinduni K;&in niiiltarolida, qnzeprp bafi
biis habent relidas portipnea:iquashos.rolidas.portionles
appellal>imus. cum igitur portiones fint minores Ipacio
11 , circulus, uel ellipfis g h ad portiones maiorem propor-
tionem habebit, quam linea m k ad K 1 . fiat n k ad K 1 , ut
circulus uel ellipfis g h ad ipfas portiones . Sed ut circulus
uel ellipfis g h ad figuram rediJineani in ipfa deferi-
ptam, ita eft cylindrus uel cylindri portio ce adprifina,
quotiredilincamfigiirampro bafi habet, & altitudinem
aqualem j id,qiiodinfradcmonfirabitur . ergo per conuer
fionem rarionis,ut circulus,ucl ellipfis gh ad portiones re
lidas,itac)dindrus, uel cylindri portio ce ad Iblidas por-
tiones, quare cylindrus uel cylindri portio ad folidas por-
tiones eandem proportionem habet,quamlinean k ad
& diuideiido prifma, cuius bafis eftredilinea figur^ ad fo-
lidas portiones eandem proportioncinhabct,ciuam n lad
\k.dc quoniam acylindro uel cylindri portionc,cuius gra-
uitatis centrum eft 1 , aufertur prifina bafim habens rciirili-
ne^nifigura, cuius centru grauitatis efl: K : reiiduie magnitu
diffis ex foildispbrtionibus copofit^c grauitatis c5cru cric
in Iineaklprorrada,&in piinAo n ; qiiodefiabfiirdu.relid
quitur ergo, ut cetrum grauitatis cyJindriiuel cylindri por
tiojiis fitpuntftu k. qua* omnia demonfiradapropofuimusi
At iiero cylindrum, uel cylindri portione ce
ad priliiia , cuius bafis ell: reiSilinca figura in Ipa-
cio g li dcfcr)pta,& altitudo arq ualis i eandem ha-
, bcre

DH centro GRAVIT. SOLID. ij

bere proportionem, quam fpacium ghad dida
figuram, hoc modo demonftrabimus.

Jntelligatur circulus, uel ellipfis x asqiialis figurs recftili-
ne$ in gh fpacio dcfcriptsiw^ ab x CQhlHtuamr conus, uel

coni portio, altitudine habens eande, qua c^dindrus uel cy
lindri portio ce. Sit deinde rcc^ilinea figura, in quay eade,
quajin fpacio gli defcriptaefl:; & ab hac pyramis :cquealta
confUtuatur. Dico conu ucl coni portione x pyramidi y x-
quale efle . nifi enim fitarqualis, uel maior ,iielminor erit,
sit primum maior, ct exuperetfolido z. itaquein circii
lOjUclcllipfixdefcribacur figura re{5tilinea;& in ea pyra-
mis eandem,quam coniis,ucl coni portio altitudinem ha-
benSjira ut portiones rclictx minores fint folido z, quem-
admodum docetur in duodecimo libro elementorum pro
pofitione undecima . erit pyi amis xadhuc pyramide y ma
ior. & quoniam piramidesisque alte inter iefuntjficuriba
fes; pyramis x ad piramidem y eandem proportionem Iia- cuiu.
bct,quain figura rcdilineax ad figuram y. Sed figura redei

FED. COMMANDINt

linea x ctim /it minor circulo, uel ellip/i,e/l: etiam minor fi-
gurarefiilineay. ergopyramisx pyramidey minorerit.
Sed & maiorjcjuod fieri no poteft. At fi conus, ucl coni por
tiox ponatur minor pyramide y ;/italtcr conus asque al-
f us , uel aitera coiii portio jc ipfi pyramidi y xqualis i erit
eius tafis circulus , uel ellipfis maior circulo , uel ellipfi x >
quorum exceffus fit (pacium a. Siigiturin circulo,iid elli-
pfi 5 c figuta reSilinea deferibatur , ita ut portiones relifia:
fint o ipacio minores, eiufiuodi figura adhuc maior erit cir
culo, uel ellipfi X, hoc eft figura redtilineay : & pyramis in
ca conftituta minor cono,uel coni portione y; , hoc cft mi-
iiorpyramidey . c/l ergo uty; figuraredlilinca ad figuram
rcftilineamy, ita pyramis y adpyramidemy. quare cum
figurarei5tillneay;fitmaiorfiguray:crit& pyramis ;)c py-
ramidey maior . fed eratminor ; quodrurfiis fieri nonpo-
teft . non e/l igitur conus , uel coni portio x neque maior ,
neque minor pyramidey . ergo ipfi necclTario e/l tequalis .
Itaque quoniam ut conus ad conum, uel coniportio ad co

DE CENTRO GRAVIT. SOLID. ij

ni portionem, ita eft cylindrus ad cj^IindrumjUelcyin-
dri portio ad cylindri portionem: & ut pyramis adpyra-
midem, ira prifina ad prifina , cum eadem fi t bafis , &:Equ3
Jis altitudo j erit cylindrus iiel cylindri portio x prifiua-
tiyirqualis.eftq; iitlj^acium g h ad /pacium x, ita cylin-
drus, uel cylindriportio c e ad cylindrum, ucl cylindri por-
tionem X . Conflat igitur cylindrum ud cylindri portione
ce, adpri/inay , quippe cuius bafis cfl figura rc<^Hlinea in
fpacio gh defcripta,candem proportionem habere, quam
fpacjum gh habctadf}>aciiimx,hocefladdici:am figuram,
qupd dcmonftranduni fuerat.

THEOREMA IX. PROPOSITIO IX.

Si pyrarais fccetiir plano bafi aequidiftantc', (e-
dio erit figura fimilis ei, qute eft bafis , centrum
grauitatis in axe habens.

7qumtf

ic. unde
cimi

io.undcci

mi.

rff.unde-

ciiiii'

io*uncIe-.

cimi

FED. COMMANDINI .

SIT pyramis,ciiiiis bafis ti iangulu iv. ?, b c ; axis tl c : &
ffccctur plano bali rcquidiilante j quod fecTionc faciat fg h;
occurratq; axi in puiKfto k . Dico fgh triangulum tnc,ipfi
abc fimile; cuius grauitatis centrum eftx. Qiionilcnim
duo plana iequidiiiantia a b c j fg h fecanrur a plano a b d ;
communes eorum iedfiones abjfga^quidiftantes erunt: &:
eadem iationciEquicliilantesip&bc,gh;&c a, h EQuod
cum diiic linea: Tg, gh, duabus a b , b c jequidiflent, nec
fintin eodem plano j angulus ad g «qualis eft angulo ad
b;&fi militer angulus ad h angulo ad c:angulusq;aJ f ei,
qui ad a cfl «qualis . triangulum igitur f g n fimile eft tri-
angulo abc. Atuero pumftum k centrum cfTe grauita-
tis trianguli fg h hocmodo oftendemus . Ducanturpla-
na per axem,&: per lineas d a,d b, d c : erun t communes fe-
(ftiones f K,ae «quidiftantes: pariterq; k gjcb j & k h,ec:
quare angulus K f h angulo e

«qualis . Eadem ratione
anguliad g angulis ad b : &
anguli ad n iis, qui ad c «-
quales erunt . ergo punita
e K in triangulis a b c , fg h
(imilitcrfunt polita, per fe-
xtam politionem Archime-
dis in libro de centro graui-
tatis planorum . Sed cum e
fit centrum grauitatistrian
giili a b c, erit ex undecima
propofitioneeiiifdem libri, ’

& K trianguli f g h graiiita
tis centrum, id quod demonftrarc oportebat . Non aliter
in ceteris pyramidibus , quod propoli tum eft dcmonftra^
biciir .

a c j de angulus k t g ipii e a

PRO

DE CENTRO GRAVITiSmiD. 17
PROBLEMA I. PROPOS ITIO if. '

Data qualibet pyramide.fieri poteft, ut fi-
gura folida iii ipfa iufcribatur, &c altera circufcri-
batur ex prifmatibus arqualem altitudinem ha-
betibus , ita ut circumfcripta infcriptam excedat
magnitudine,quae minor fit quacfique folida ma
gnitudine propofita .

Sitpyramis,cuius bafis
triangulu a b cjaxis de.

Sitq; prifma , quod eande
baflm habeat,& axem euii
dem. Itaque hocprifma-
te continenter feSo bifa-
riam, plano bafi aiqiudiila
te, [relinquetur tadem prif
maquoddain minus pro-
poli ta m.agnitudine: quod
quidem balim eandem ha
beat,quam pyramis , & a-
xem c f. diuidatur d e in
partes squales ipfi e f in
punftis ghKlmn;&pcr
diuifiones plana ducatur :
qus bafibus.tqiiidiftent,
erunt fedliones, triangula
ipli a bcfimiIia,utproxi-
me oftendimus . ab uno
quoque aute horum triaii
gulorum duoprifmatacS
Rruantur; unum quidem
ad partes e ; alterum ad

FED. COMM ANDINI

pirtes d . in pyramide igitur in fcripta erit qusedani figura,
ex prifmatibus aqualem altitudinem habentibus coftans ,
ad partes e: & altera circumfcripta ad partes d.Sed unum-
quodque eorum prifmatum,qu:i; in figurainfcripta conti-
iientur,xquale eftprifiuathquodab eodem fit triangulo in
figura circumfcripta: nam prifinap q prifmati p o eft s-
quale ; prifma s t aquale prifmati s r ; prifina x y prifmati
X ujprifma « Jprifinati » z‘;prifma p v prifmati (i A;prif-
ma'|i of prifinati f Tiq-St prifma a: prifmati 41 t aquale, re-
linquitur ergo, ut circumfcripta figura exuperet infcripta
prirmate,quodbalim habet abc triangulum, & axem e C
illud uero minus eftfolida magnitudine propofita. Eade
ratione infcribetiir,& circumfcribeturfolida figurain py-
ramide, qus quadrilateram, uel plurilatera bafim habeat.

PROBLEMA II. PROPOSITIO XI.

Dato cono, fieri poteft, ut figura folida in-
feribatur, 8c altera circumferibatur ex cylindris
aequalem habentibus altitudinem, ita ut circum-
fcripta fuperet infcriptam,iwagnitudine, quai fo-
lida magnitudine propofita fit minor .

SIT conus, cuius axis b d : & fecetur plano per axem
dHa:o,'utfe(Tlo fit triangulum a b c.-inteliigatiirq; cyliii-
drus,qui bafim eandem,& eundem axem habeat.Hocigi-
tur cylindro continenter bifaiuam fedfo.relinquetur cpiUti
drus minor folida magnitudine jiropofi ta . Sjt autem is cy.
lindrus,qui bafim habet circulum circa diametrum a c, &
axem de. Itaque diiiidatur b d in partes squales ipfi d e
in pundiis f g hKlm:&pereadiicantiirplanacomimfe-
cantia ; qiis bali squidiftent . eruntledliones circuli , cen,
train axi habentes, ut in primo libro comcorum,propofi-

tione

DE CENTRO GRAVIT. SOXID. i»

tione quarta ApQlloniusdemonftraiiit. Si igitqra fingu-
lis horuju circulorum, duo cjiliudri fiant ; unus quidera.adi
bafis partes ; alter ad partes uerdeis : inferipta erit in co-
no folida qua-dam figura , & altera circumferipta ex cjiliu-
dris aqualem altitudinem habentibus conftans ; quorum
unufquifque, qui in
figura inferipta con-
tinetur aqualis eft ei,
qui ab eodem fit cir-
culo in figura circu-
feripta. Itaque cjlin
drus o p aqualis eft
cylindro o n ; cylin-
drus rscylidro rq ;
cylindrus u x cylin-
dro u t eft aqualis ;

& alii aliis fimiliter .
quare conftat circu-
feriptam figuram fu-
perare inlcriptam cy
Jiiidro,ciiius bafis eil:
circulus circa diametrum a c,&:axls d e . atque hic eft mi-
nor folida magnitudine propofita. ,

PROBLEMA III. PROPOSITIO XII.

Data coni portione, poteft folida quxdam
figiira inferibi , & altera circumferibi ex cylindri
portionibus xqualem altitudinem habentibus;
ita ut cireumicripta infcrip.tatn exuperet, inagni
tudine , qux minor fit folida magnitudine pro.
pofita .

E 1

FED. COMMANDINI

Figuram ciiiftnodt, & infcribemus , & circufcribemus, ita
«tin corio diftum eft.

PROBLEMA IIII. PROPOSITIO XIII.

Data fphgerse' portione , dimidia fpha:-

ra rnaior non fitipoteft folida cpiatdam portio in-
fcribi &< altera circumfcribi ex cylindris arqualem
altitudinem habentibus , ita ut circumfcripta in-
fcriptam excedat magnitudine, qua: folida ma-
gnitudine prdpofira (it minor.

HOC etiam eodem' prorfus mado fiet: atqtie Ut ab
Archimede traditum eftin conoidum, &iphOToidum por
tionibus,propofltione uigefimaprima libri de conoidi-
biiSjScfphsrojdibus,

THEO

DE CENTRO GRAVIT. S.OLID. 19

h n

—

/r L

p i\i

7^^^ T

L_i7

' i

Y Q

p

J ^

M »1- u

ft d c

THEOREMA X. PROPOSITIO XIIII.

Cuiuslibet pyramidis , 8c cuiuslibet coni , uel
coni portionis,centrumgrauitatisinaxeco(iftit.

SIT p 3 iramis,cuiiis bafis triangulum a b c : & axis d e*
Dico in linea d e ipliusgrauiratisccntrumineire.Sieniru
fieri poteil:, fit centrum f: & ab f ducatur ad bafimpyrami
dis linea f g,axiarquidifians : iun^taq; e g ad latera trian-
guli ab c producatur in h . quam iicro proportionem ha-
bet linea h e ad e g, habeat pyramis ad aliud folidiun, in
quo K: inicribaturq; in pyramide folida figura, & altera cir
cumrcribatiir cx prifmatibus aequalem habentibus altitu-
dinem, ita ut circumficripta inferiptam exuperet magni tu-
dincjqiixfolido /^fit minor. Et quoniam in pyramidcpla
num bafi cBquidiftans dutfliim redtionem facit figuram fi-
milem ci, qu« eft bafis ; centrumqj grauitatis in axe haben
tem: eritprifinatis s t grauitatis cenrru in linea rqiprif-
maris ux centruminlineaqp iprifinacisy z in linea po;
prifimatis h 3 in Imea o n j prifinatis A(i in linea ninjprif*
madsv 7i iam li&deniqueprifmatis per in 1 e. quare to-

FED. COMMANDINI

tius figura infcripra centrum graiiitatis eft in linea r e:
quod iit t;ui-
ftaque t f, &
producta , i
puniSo h du-
catur linea a-
xi pyramidis
sequidiftans ,
qus cu linea
7 f conueniat
in <p . habebit
(ji T ad rf ean-
dem propor-
tionem , qua
h e ad c g .

Quoniam igi
tiir exceiTus ,
quo circiifcri
pta figura in-
Icriptam fupe
rat, minor eft
folido K ; py-
ramis ad eun-
de excefsu ma
iore propor-
tione habet ,
quam ad K fo
lidum ; uideli
cet maiorem,
quam linea h
c ad e g;hoc
cft quam 41 T

ad Tf:&proptereamulto maiorem hab et ad partem cx-
cclTuSiqus intrapjjramidem comprehenditur . Itaque ha-
beat

DE CENTRO GRAVIT. SOLID. 20

b eat eam, quam t ad t f. erit diuidendo ut f ad f T,ita fi
gurafolidainfcripta ad partem exceffus,qux eft intra pjra
midem.Cum ergo a pjramide, cuius grauitatis cetrum eft
puurium fifolidafigurainfcripta . auferatur, cuius centru
T : reliqus magnitudinis conflantis ex parte excefliiSjqu®
efl intra pjiramidem, centrum grauitatis erit in iiuea t f
produfl:a,& in pundto . quod fieri non poteft. Sequitur
igitur, utcentrum grauitatis pjiramidis mlinea de; hoc
eftineiusaxe confiiiat.

Sit conus, ucl coni portio, cuius axis b d : & fecetur plano
per axem,utfeftio fit triangulum a b c . Dico centrum gra
nitaris ipfius cfle in linea b d. Sit enim,li fieri poteft, centrii

c : perq; e ducatur e f axi squidiftans : & quam projior- ,
tionemhabet cd ad dfihabeat conus, uel coni portio ad.
folidiim g . infcribatur ergo in cono,uel coniportionefoli ,

FED. COMMANDI NI

da figura, & altera circumftribattir ex qdindris , uel cylin-
dri portionibus, ficuti diaum efl,ita ut cxccflus,qiio figu-
racircumfcriptainfcriptamfuperatjfitfolido g minor.
Itaque centrum grauitatis cylindri , uel cylindri portionis
q r cftinUneapo; cylindri, uelc^lindriportionis st cen-
trum in linea o n ; centrum u x in linea n m ;y z in m b ; »<
in 1 iti A p in K h ; & denique v n centrum in h d. ergo figu-

ra: inicripta centrum eftin linea pd. Sit autem p: Sciun-
dta peprotcndatur,utcumIinea,qua:apufl:o c dudia lue-
rit axi iquidiftans , conueniat in c . erit ir f ad p e , ut c d
ad df:& conus, feu coni portio ad exceflum,quo circiim-
feripta figurainrcriptamfupcrat,habcbitmaiorem pro-
portionein,qu.im ad p e. ergo ad partem exceirus,qiia:
intraipfiusfuperficicm comprehendi tur,mnlto maiorem
proportionem habebit, habeat eam, quam rpad p e. erit

ditiidendo

t)E CENTRO GRAVIT.SOLID. at

diuidendo figura folidainfcriptaaddi.3:am excefTus par-
tem, ut T e ad e p . & quoniam a coiio , feu coni portione,
cuius grauitatis centrum ell c , aufertur figura infcripta ,
cuius centrum p : refidus magnitudinis compolir® ex par
te cxceflus,quE intra coni , uel coni portionis fuper/iciem
continetui',centrum grauitatis erit in linea j e protraSa,
atque in pundo t. quod eft abfurdum . coftat ergo cen tru
grauitatis coni, uel coniportionisjcfleinaxc b d ; quod de
inonftrandum propofuimus.

THEOREMA XI. PROPOSITIO XV.

Cuiuslibet portionis fpha:r£e uel ipharroidis ^
c|U3E dimidia maior non fitritemq; cuiuslibet por
tionis colloidis, uel abfcilfe plano ad axem refto ,
uel non redo , centrum grauitatis in axe con-
fiftit. ^

Demonflratio fiinilis erit ei,quam fupraiii cono,uel co
niportione attulimus, ne toties eadem firuftra iterentur.

?)cr i.pC'
titioncn

4 . Arch
llKlilS.

F E D. C O M M A N D I N I
' THEOREMA XII. PROPOSITIO XVI.

. Iii fpIi.xrajSd rpliai.roiclc idem eftgrauitatis ,.8c^
flgiirx centrum ■ i

Sccctur fphxta, uellpha^roides plano perasietoduOro ;
quod fcftionem faciat circulum, ud cllipfim a b c d, cuius
diameter, & fphxrsjucl fplixroidis axis d b ; & centrum e .
Dico e graiiitatis etiam ccnwum effc.-f€ccti(r enim altero
plano per c,ad planum (ecans redto , cuius ledlio Iit circu-
lus citiadiametrum a c, ertuU'adc,a ttcdimidixpqrtio-
nes fj>lia:ra-,uel fph.Troidis.& quoniam portionis a d c gra
uitatis centrum efiiii linea djA' centrum portionisab c in
iplli b e; totius /jihair® , ticl (idixtoidisgrauiratis centrum
in Axed b conliftcr.<.^iiod /1 portionis a d c centrum grani’
tacis poliatur cUctlik liat ipli l',e .-eqttalis e g : puncKi g por.

- tionis a b c centrum erit . Iblidis enim figinis limilibus &
' xqralibus inter fc aptatis, & centra g. auitatis ipfatuni in-

- ter fe aptentur necclle cft . ex quo fit, ut magnitudinis, quo:
ex uti iIque c5flat,hoceflipfiiis (jihxi x, iiel fjihxroidis gra
uitatis centrum fit in medio linea- fg.uidelicct in e. Spliee-
ra igitur, ucl fph.eroidis giauitatis centrum eilidem,quod
ccntium figurs.

Ex

DE CENTRO GRAVIT.SOLID. u
"■ Hilemonftratisperfpicue apparet, portioni
fphacra; uel rpiix’roit!is,qucc dimidia maior ctt, ce
ttum graiiitatis iti axe coufiltere.

Data enim
tjualibct inaio
riporti6e,(:>tio '

Ilia totius fph®
rr-j, iitlipliEtoi
dis graiiitatis
centrum cft in
axe ; eft autem
& in axe cen- '
trum portio-
nis minoris :
reliqusportionis uidelicet mworis centriim in axe neceP-
fario cqnfiftct . . '

THEOREMA XIII. PROPOSITIO XVII.

C.uiuslibet pyramidis tria
giilarcmbanm habetis gra
uitatis centrum cll in piin-
dlojin quo ipfuis axes coa-
ucniunt.

Sit pyramis, cuius bafis trian
giilu ni a b c , axis d c ; fi tcj; triao
giilibdcgraiiitatis centrpra f:,'

& iinigatur a ficrit & a l axis eiiif d,
dem pyramidis ex tertia diffini- ■
tioncmiius. Itaque quoniam centruin grauitatis eftin
axe d c i cft autem & in axe a f; quod pro.ximc dcmonftraui'

F a

TED. COMMANDINI

mus; erit utique grauitatis centrum pyraiuidis punftum,
g: iiiquo icilicetipfiaxesconueniunt.

THEOREMA XIIII. PROPOSITIO XVIII.

S I folidum parallclepipeJiim fecetur plano
baribiisa;quidi flante; erit folidum ad folidum,
ficut altitudo ad altitudinem , ucl (icutaxisad

axem .

Sit folidum parallelepipc
dum a b c d e fg h, aiius axis
, K I: feceturq; plano bafibus
aquidiftaiitc , quod faciat
fetlioneni ranop; &axiin
punito q occurrat. Dico
Iblidum g in ad folidum m c
eam proportionem habere,
quam altitudo folidi g m ha-
bet ad folidi m c altitudi-
nem i uel quam axis x q ad
axe m q 1 . Si emm axis K 1 ad
balis planum fit perpendicu
laris, & linea g c,qua: ex quin
ta huius ipfi kl «quidiftat,
perpendicularis erit ad ide
planum , & folidi altitudi-
i-.undeci nem dimetietur . Itaque fo-
»u- lidum gm ad (olidum m c
eam proportionem habet ,
quam parallelogrammu gn
ad parallclogrammum nc,
. hoc eft quam linea g o , qii«

DE CENTRO GRAVIT. SOLID. 2j

eft folidi gm altitudo ad o e altitudinem (olidi m c, uel qua
axis k q ad q I axem.Si uero axis k 1 non fit perpendicularis
adplanumbafisjducaturapunao k adidem planum per
pendicularis k r, occurres plano m n o p in s.fimiliter de-
moftrabimus (olidum gm ad folidumc itaelTciUtaxis (t q
adaxemql. SedutKq ad ql, ita ks altitudo ad altitudi-
nem's r ; nam linea: K 1, K r a planis squidifiantibus in eaf-
dem proportiones facantur. ergo (olidum g m ad folidutn
mceande proportionem habet, quamaltitudo adaltitu
dine,uel quam axis ad axem.qiiod demoftrare oportebat.

THEOREMA XV. PROPOSITIO XIX.

Solida parallelepipeda in eadem bafi , uel in
jcqualibus bafibus conftituta eam inter fe propor
tionem habent, quam altitudines: Sc fiaxesipfo-
nim cum bafibus «quales angulos contineant,
cam qiioque,quam axes proportionem habebiit.

Sintrolidaparallelepipedain eade bafi coftituta ab c d,
abel: &fitfolidi abed altitudo minor : producatur au-
tem planum c d adeo , ut (olidum a b e ffecet ; cuius feftio
fitgh. erutfoli
daabcd.abgh
in eadem bafi ,

& squali altitu
dine inter fe s-
qualia. Qiiohia
igitur foliduin
a b e f fecatur
plano balibus
*quidill:ate,erit
folidum ghcf
adipfumabgh

17. unde-
cimi

x9-unde-

cinii

is.huiuf

FED. COMMANDINI

htalritudo ad altitudinem : & componendo conuertendo
y.quinti. qiicfolidum ab gli, hoc ell /oli dum a b c d ipfi requalc , ael
■fbliduraabc (, iit altitudo iblidiabcd adfolidi abet’ al-
titudinem.

Sintfolidaparallclepipcdaabjcd in.a-qualibusba(ibiis
coiiftituta; fitq; b e altitudo-lblidi a b : & folidi c d altitu do'
dlvc[ua:'quidcm maior fit, quam be. BicOfolidiinVab ad’
folidu’i'n'G d eandem habercpi oportibnciii, quam tte ad
d C ablcindatur enim a li nea d (' icqUalis ipfi b e , qti.-e fi t g 1:'
& per g ducatur planum fecaus ibiidum c d j quod bafibus
ji. unile Kquidiftetjfaciatq; fedtions h K. erunt folida ab, t k sque
cimi alfa inter '

ffscjualiif
eu a:qu.a-
Ids ba/cs
hdbcanf i’
tS.huiui Sfdfolidu
h d ad foli
dum cK
eft, utalti
. tftdo d g
adgfalti- ’
'tudinejfe

catur . enim foUdum c d plano bafi
bus iequidiftaiitc: & rurflis copo-
neiido,c6miertendoqi folidii ck_
jr.quinu. ajfoiidmncd, ut gf adfd.ergo
foliduul' ab , quod efi .■equale ipfi
CK ad lolidum c deam proportio
nem hahct,quam altitudo g fi hoc
eft b e ad d f al ritudinem .

Sintdeindefolidaparallelcpipe
da a b , a c in eadem bafi ; quorum
axes d e,fc cum ipfa a-quales angu

DE CENTRO GRA VIT. S OLID. ,4

loscontineaiit.Dicofolidiim ab adrolitlumac eJdcmba .
hffc' proportionem , quam axis d e ad axem cf. Si cniiii
axes iir eadem refla liii^afucriiicco.nftiniddiseduo ib!i-
da , in linum , atque idemfolidum coiineiiieiit . quare ox
iis, qux, proxime traditafiint., habebit foliJiim ab ad fo- ,
IWuni ac eandem proportionem , quam axis de ad ef,
axem . Si uero axes non fintiu cadeni refla linea, demi ttan
tur a punflis d, f perpendiculares ad bafis planum, d g, fh;
Stiungantureg, eji. Quoniam igituraxes cum baiibiis
aiquales angulos Coutiucnt, erit d e g angulus squalis au-
giilQ;Feh:&fuu6;;,:,v.,;:;;;.'
anguliadghre-
fli, quatefit [re- ■
irquus edgsqua
lis erit reliqua
efh ; & triangu-
luiii deg.triagu-
lo ien finiilc; erT

gogdadde cft[;
uthfadfici&pcr
mutando gd ad
h t', ut de adef.

Sed folidiim ab

ad: folidum a c
eanilcm propor-
tionem habef

S uam d g altitu-
o ad altitudine
/ h . crgo‘& caii--
de habebit , qua
axis d e a t 'c f axe
, Podremp fiut
iblidaparallelcpi
peda ab,-ed in

FED. COMMANDINI

squalibus hafibus, quorum axes cum bafibiis squales an
giilos faciant. Dico folidum ab adfolidu c dita effe, ut axis
ef adaxemgh:namiiaxes ad planum bafis refti fint, il-
lud peripicue conlbt: quoniam eadem linea,& a.%em & foli
di altitudinem determinabit . Si uero (iiitincliuati, a puii-
ftis eg adfubiecium planum perpendiculares ducantur
ek,gi : &iunganturl\,hl.rurfus quoniam axes cumba
fibus squales faciunt angulos, eodem modo demonftrabi
tur, triangulum e f K triangulo gh 1 llmile c(re;& e k ad gl,
utef ad gh. Solidum autem ab ad folidum cd eft, ut
eK ad gl. ergo&utaxis efadaxemgh. qusomniade
nionftrare oportebat .

Exiisquicdemonftrata fune, facile conflare
potell,priftTiata omnia 8c pyramides, qu* trian-
gulares bafes habenr, fiuein eifdem, fiucinxqua
if suinii libus bafibiis conflituantur , eandem proportio-
nem habere, quam altitudines : 8c fi axes cum ba
fibus «quales angulos contineant, fimiliter ean-
dem , quam axes , habere proportionem : funt
ctai"'*'" enimfolidaparallelepipcda prifmatutn triangula
habentiu dupla-, 8c pyramidum fcxtupla,

THEOREMA XVI. PROPOSITIO XX.

Prifmata omnia & pyramides, qu« in eifdem i
uel «qualibus bafibiis conflituuntur, eam inter
fe proportionem habent, quam altitudines : 8c fi
axes cum bafibus faciant angulos «quales, eam
etiam, quam axes habent proportionem .

DE CENTRO GHAVIT.SOLID. aj

Sintdiiopiifmataa e, a E quorum eadem bafe quadri-
latera a b c d ; fitq; prifmatis a e altitudo e g ; & prifinatis
a faltitudo fh.Picopriftnaae adprjfiTia.af.eambaberc
proportionemjquam e g ad f h.iurigaturenim a cj&iij
unoquogueprifmateduo priinutaiii(;elligantur>quor,unj
bafesEnttriapgu
!a ab4acd.Habe
bunt duo prifina-
te in eadem bafi
a b c cpuftituta ,
proportionem qa
dem, quam ipfo-
rum altitudiftes e
gjfhjcxiainde-
moijftratis . & fi-
tniliter alia duo,
qu:e fuut in bafi a
cd. quare totum priima 3 e adprifinaa f eandempropor ii.quintj
tioncmbabebit, quam altitudo e g ad fh altitudinem.

Quod ciun prjrmata lint p^iramidum tripla,&: ipft: pyrami
des, quarum eadem eft bafis quadrilatera , & altitudo priC-
m atum altitudini squalis , eam inter fe proportionem ha-
bebunt, quam altitudines.

Si uero prifmatabarcs xquales habeant, no eafdem, fint
duoeiufinodiprirmataac, fl.-&fitbafisprifinatisa equa
drilaterumabcd;&prifmatis fl quadrilatcrum fg h /t..
Dicoprifmaa eadprifma fl itaeffe, utaltitudo illius ad
huius altitudinem . nam fi altitudo fit,eadem,intelligatur
duxpyramidesabcde,f ghtl.qnElterreaiqu:dcs cnit, /f.duode
cuitisquales bafes,& altitudineni eandem habeant, quare timi _
& prifmata a e,f l,qua: funtharu pyramidum tripla, xqua- 'hSa*”'*
lia fi n t necefie cft , ex quibus pcripicue confiat propofi tu .

Si uero altitudo prifmatis, fl fiproaior, .-i prifinate f 1 ab-
feindatur prifma ^jn,quod wqiic altum fit, atq; ipfum a e ,

FED. COMMANDINI

cnintcacli!mra-
tioncprifiiiataa
Cjfminterre a-'
ijiiaJia. quiare fi-
inilftcr

lEabiturprilma
f'm ad prifmaf 1
eaiicicm habere
proportionem ,

<.)nam prirmatis
f m altitudo- ad ** ° j i-. irjw .i ^

altitudinem ip- ' ' ,

lius fl.ergo&pri/ina a e adpriihia fl tancfdmp^bpot'-
tionem habebit, quam altitudo ad altitudinein^fequitur
igitur ut &pyramides,qua; in ii^qualibus bafibiis conftitiiui
rur, eandem inter feie, quam altitudines,propartioncni
habcanc. . . ,

Sint deinde priiinata a e, a f in eadem bafi ab c d; quoru
axes cumbaribusafqtialts angulos contineant : & iit priP

matis

Ei E :CE NTR O G RA' VIT. ■ S OXI D.

«latis a e axis g li ; & pri&atis a f axis. I Ir. 'Dico pri(i»,t
a e ad prifma a f eam proportionem haberiji|uam -g h ad-
ii 1. ducantur a pundlis g 1 perpendiculares ad bafis
num g K, Im ; & iungantur h,
h m. itaque quoniam angtili g h..

1l> 1 h ai funt xquales,fimii jtcr ut
iiipra demoTiflrabimus, triangu-
la g h K, 1 h m fimilia effe ; & ut g
K adlm,ita gh ad hl.habetau
tem prifma a e ad prifma a f ean
dem proportionem, quam altitu
do gK ad altitudinem lm,l5cuti
dcmonflratum cfl. ergo & ean-
dem habebit, quam g h,ad h l.py
ramis igitur a b cd g ad pyrami-
dem a b c d 1 eandem proportio-
oera habebit, quam axis gh ad hl axem,

■ y !■ - . . , .j: £

h.

Denique fiutpri/iriata ae,K 0 in*;qualibu.sbafibtisa b
cd,/tlmn coliflifuta; quorum axes cum bafibus, aquales
iaciautanguIos;fitq;pri(inatis a eaxis fg,&altitiido fhr
prifmatis autem k o axis p q, & altitudo pr.Dico prifma
a e ad prifma k o itaefld, ut fg adpq. iundtisenim gh,

G a

F E n . C O M M A N D I N I : i

^r,eodem,quo/upra,modo6ftencieirms’f g'adpq,ut ffi
ad.p r. fedprifma a e adipfum ico cll,iitfh adpr. ergo
& ucfgaxissdaxemp q. ex quibus iit, iic pyramis a b t d f
adpyrami-

dexlmiip r .:«•

eandemdia
beat pro -
portione ,
qua axis ad
axe . quod
demojnftra
diifuferat, /I
Simili.r^ ’
tione in a-
liisprifma--
tibus &py

ramidibiis eadem dcmonftfabuntur..

THEOllEMA XVII. PROPOSITIO XXI.

Prifrriata omnia, 8c ji 5 (ramiclcs inter fe propor
tionem habent cpmpoGtam ex proportione ba-
fium , & proportione altitudinum.

Sintduoprifmataa e,gm:fitq;pri(Inatis a e baiis qua
drilaterum ab c d,& altitudo e fipriiinatisuero g inba-
fis quadrilaterumgh K],& altitudo m n . Dicoprifma a e
adptifma gm proportionem habere compofiram ex pro
portione baiis abed adbafim gh /t,I, & ex proportione
altitudinis 'e ij ad altitudinem inn.

Sint enim primum e f, mn a-quales ;& ut baiis a b c d
adbafimgh K l,itjiiatlinea,inqija o ad lineam, in qua p:
ut autem e t'ad mn,italinea p ad lineam q. erunt linea:
p q inter fe squales . Itaqueprilina a e adprifma g m ea

pro

DE CENTRO GRAVIT. SOLID.

proportionem habet, quam bafis abcd adbafimghKl:
fi enim intelJigantur duse pyramides abcdc,ghklm,ha-
bebunthreinter ie proportionem eandem, quam ipfarnm
bafes exfexta duodecimi elementorum. Sed ut bafis abcd
ad g h K 1 bafim,ita linea o ad lineam p ; hoc eft ad lineam q
ei squalem. ergo ptiima a e adprifina jjm efl:,ut linea o
adlineam q . proportio autem o ad qcqpofita eft ex pro-
portione o ad p,& ex proportione p ad q . quare prifma
a e adprifma gm,&idcirco pyramis ab ede, ad pyrami-
demg h Klmproportionemliabet ex eifdem proportio-
nibus compofitam,uidelicetexproportione bafis abcd
ad bafim g h jf 1,& ex proportione altitudinis e f ad m n al
titudinem . Quod fi lines e ijm n iosquales ponantur, fit
e f minor ; & ut e f ad m n,ita fiat linea p ad Uneam u : dc

inde ab ipfamnabfcindatnrrn, squalis e f:&pcr rdnea-
tur planum, quod oppofitis planis squidiftans laciat fe-
dtionemst.eritprifma ae,ad prifma g t,utbafis abcd
ad bafim g h k 1 i hoc eft ut o ad p : ut autem prilma g t ad
prifma g m,ita altitudo r n ; hoc eft e f ad altitudine m n ;
uidelicetlinea p adlineam u. ergo ex .squali prilma aead
prifina gmeft,utlinca o ad ipfam u . Sed proportio oad
u copolicaeft ex proportione o adp,quie eft bafis a b c d
ad bafim g h k 1 ; & ex proportione p ad u,qus eft altitudi-
nis C f ad aititudiiieiji m n . prifina igitur a e ad prifina g ra

10, Imius

FED. COMMANDINI

compofitam proportionem habet.exproportionc bafiu j,
& proportione altitudinum . Quare & pyramis, cuius ba-
Cs eft quadrilaterum a b c d,& altitudo e f adpyramidem.

cuius bafis quadrilatefum gh K I,& altitudo m n,compo(i
tam habetproportionem ex proportione bafium a bc d,
g li ft,l,& ex proportione altitudinum e f, m n . quod qui-
dem demonftrafle oportebat .

E X iam demonftratis perfpjtUum eft,prifffla
ta omnia, 8c pyramides , in quibms axes cum bafi-
bus «quales angulos continent, proportionem
habere compofitam ex bafium proportione , 8c
proportione axium . demonftratum cftenim , a-
xes inter fe eandem proportionem habere,quam
ipfa; altitudines.

THEOREMA XVIII. PROPOSITIO XXII.

C V I V 5 L I B E t pyramidis,5£ cuiuslibet coni,

uel

DE CENTRO GRA VIT. SOLID. zS
uel coni portionis axis a centro granitatis ira dini,
ditnr , ut pars, qua: terminatur ad uerticcrn reli-
qua: partis, qua: ad bafimjfit tripla .

Sit i^yramiSjCuius bafis triangulum a b c; axis d e; & gra
uitatis centrum K. Dico lineam d k ip/ius K e triplam eHe ,
trianguli enim b d c centrum grauitatis fit punifhim tria
guli a d c centrii g ; & trianguli a d b fit h : & iungatitur a f,
bg,c h, Quoniam igitur centru grauitatis pyramidis in axe
cofiiUtiruntq; de,af^bg,ch eiurdepyramidisaxesiconue
nient omnes in idepunftu quod ell grauitatis centrum.
Itaque animo concipiamus hanc pyramidem diiii/am in
quatuor pyramides , quarum bales fint ipfa pyramidis
triangula; Sc axis pun-
(5t:um k quje quidem py-
ramides infer fe aquales
firnt , ut demoflrabitur .

Ducatur eni per lineas
dCjdeplanumfecas, ut
fitipfiiis,&: bafis ab cco
munis fectio reda linea
c e I : eiufde nero & tria-
guliadb fitlineadhl.
erit linea al leqiialis ipfi
1 b: nam centrum graiii-
tatis trianguli confilHc
in linea , qiije ab angulo
ad dimidiam bafim per-
ducitur, ex tertia deci-
ma Archimedis , quare
triangulum aci xquale
eft triangulo b cl ; &propterea pyramis, Cuius bafis tria n-
guliiiTiacl,uertexd,efIjEqualis pyramidi, cuius bafis bcl
triangulum^& idem uertex. pyramides cnim^qua; ab code

17.I1UIUS

I. fexti.

f.duodfl-

cimi.

FED. COMMANDINI

funtucrtice, eandem proportionem habent, quam ipfai-u
bafes . eadem ratione pyramis a c IJc pyi'amidi b c 1 k : & py
ramis a d 1 k ipfi b d I k pyramidi squalis erit.Itaque ii a py
ramide a c 1 d auferantur pyramides a c 1 k, a d 1 k : & a pyra
mide b c 1 d auferatur pyramides b c I k, d b 1 K: qus relin-
quuntureruntsqiialia. squalis igitur eftpyramis ac d,K
pyramidi b c d K . Rurfus fi per lineas a d , tke ducatur pla-
num quodpyramidemfeeet ; fitq; eius & bafis communis
feflio ae m : fimiliteroftendetur pyramis ab d K squalis
pyramidiacdx .dufto denique alio plano per lineas ca,
a f: ut cius , & trianguli c d b communis fedlio fit c fn , py-:
ramis a b c k pyramidi a c d k squalis demonftrabitur . cu
ergo tres pyramides bcdl^, abdk,abck nui, & eidem py
ramidi a c d k fint squales, omnes inter /e fe squales erut .
Sed u t pyramis a b c d ad pyramidem abcic,itadeaxisad
axem k e, exuigefimapropofitione huius ; funtenimhs
pyramides in eadem bafi, & axes cum bafibus squales con
tinent angulos , quod in eadem refta linea coniHtuantur .
quarediuidendo,nttrespyramidesacdk, bcdK,a bdK
ad pyramidem ab c K, ita d k, ad K e , confiat igitur lineam
dKipfius Sctriplameffe.fed&ax tripla eft K fiitemque
b Kipfius Kg : & C K ipfius k 1 tripla, qnodeodem modo
demonftrabimus ,

Sit pyramiSjCuius bafis quadrilaterum abcd; axis ef:
& diuidatur e fin g, ita ut e gipfius g ffit tripla . Dico cen-
trum grauitatis pyramidis eliepundlum g. ducatur enim:
lineabddiuidensbafimiiiduotriangulaabd, bcd; ex
quibus iutelligatiir coftitui dua? pyramides a b d e,b c d e : .
fitqiie pyramidis abde axis eh; &pyramidisbcdeaxis
e K: & iungatiirh Xjqua; per ftranfibit:eft enim in ipla h K .
centrum graiiitatismagnitudinis compofitx ex triangulis
a b d, b c d,hoc cfi ipfius quadrilatcri . I taque centrum gra
uitatis pyramidis a b d e fit pundtum 1 ; & pyramidis b c d e
n.fexti. ficni.ductaigiturlmipfihmiiucsxqsiidiftabkniamel ad

Ih

DE CENTRO GRAVIT.SOLID. 39

I heaiideiii'habetproportionem,(jiiain e tti ad m k, iiideli-i,
cet triplam. quare lincalmipfam ef fgcabitiapunapgi
(Itenim e gad g f^jUt el .ad 1 h . praeterea quoniam li: k, Im
spqiiidiftant, erunt triaijgu.la.h e f, 1 egfimilia.: itemq; inter, ■
fciimilia.fe.K , g.em ; ut efad e.g, ita h fad 1 g: & ita f K adi
gm. ergo ut.h fadlg.itafK ad gin; & permutando uthf
adfK,italgadgm..ledcumhEt centrum trianguliab d>
St .K triaguli b c d:p.unia:u uero .f totius quadrilateri a b c d
centrum : erit exS. Archimedis de centro grauitati? plano,
rumh fad Fk, ut triangulum bed ad triangulum a b d : ut.
autem bed triangulum ad triangulum ab.d, itapjramis
bede adp 3 iraniidem,abde.ergo
linea Ig ad gm eritjUtpjramis
.b,’c dpadpjiramide ab d e . ex qud
fcquitur , ,ut totius pjramidis
abede pundlum g fitgraujtatis
eentru m .. . Rutius ut pyramis , ba- .

Em habens pentagonum abede:

&axem fg: diuidaturq; axisiii pu
dto h, ita ut fh ad h g triplam habe
at proportionem. Dico h grauira-
tis eentru clfe pyramidis a b c d e f.
iungaturcniin cb : intelligatiirq;
pyramis , ciiiiis uertex f, & bafis
triangiilnm abe : & aliajiyramis
intelligatur eundem uerticem har.'.
bens.& bafim b c d.e qiudrilater.fi:
fit alitent gjifamidis db e/axis Fk,

& grauitaHS centrum 1 : pc pyrami?
dis b c d e faxis frn, & ceu tru m gra
uitatis.n! iuiigaiVturq; Krujln!

.xjiia: per puntSa gh irahfibunt 1
iturfuscodcnvmodojquo fiip la,

.dcmonlkabimUs lineas K gm , J.h n fibi ipfisa:quidifiare

H

FEI). CaMMANDIN"!

&c!cniquepunifhmi It pjiraraidis a b £ d c f gi-auitatis efle
centrum, &rtain aliis.

Sit conus, uel coni portio axem habeiis b'd ; fecetufque'
{flano per axem, quod feiSioflem faciat triangulum a b c:
& bd axisdiuidaturin e, ita tit be ipfius ed fit tripla.
'Dico punftum e coni', uel coni partionis ,'grauitatis
cffccentrum. Sienimfieripoirefti iitcenrrum 1'; & pro-
ducatur e f extra fignramin g , quam uero proportionem
iiabcfg e ad e f, habeat bafis conii uel 'coni portionis, hoc
cft circulus , uel cllipfis circa diametrum ac ad aliud fpa-
cium , iii quo h . Itaque in circulo , uel ellipfi plane defcri-i
batur rciSilinea figura a k 1 m c n o p , ita ut quat relinquu-
tur portiones fintminores/pacioh ; & intelligatur pj'ra-'
mis bafim habens reftilincam figuram aKlmcnop,Sc
axem b d; cuius quidem grauitatis centrum eritpundium
C, utiamdcmonftrauimns. Et quoniam portiones fiint
minores Ipacio h, circulus, uel cllipfisadportiones ma-

jorem pTOportionettfhabet,quamgeadc f. fedntcircn-
Ius , uel cllipfis ad figuram reflilineam fibi inferiptam , ita
conus, uel coniportio ad pjramidenjjqua: figuram rcftili-
ntamprobali habet ;& altitudineqi squalem: etenim fii-

DE CENTRO GRAVrT.SOtito. 50

pra deHionftratum eft , ita efle ylindrum.uel cjlindri por- S huino
tionein ad prifina, cuius bafis redUlinca figura, & ieqiia-
lis altitudo . ergo per conuetfionem rationis , ut circulus,
peleliipfisad portiones, ita conus,uel coni portio adpor-
tionesfolidas. quare conus ucl coni portio ad portiones
Iblidas maiorem habet proportionem', quam g e ad e f: &
diuidencto, pyraitiisad portiones fblidas maiorem pro-
portionem habet, quam g f ad f c. fiatigitur q f ad f e
utpyramis ad didtas portiones . Itaque quoniam i cono
uel coniportione, cuius grauitatis centrum eft f, aufer-
tur pyramis, cuius pentrum e ; reliqua: magnitudinis ,
qua; ex foIidiS portionibus confiat ,■ centrum griuiitatis
erit in linea c f protrafla , & ifi pundio q . quod fieri
nonpoteft : eft enim centrum grauitatis intra. Conflat
igitur toni,uel coni portionis graiiitatis centrum effe pun
(Sum e . qu.u omnia demonftrare oportebat ,

THEOREMA XjIX.: PROPOSITIO XX!!!,

Q^vodubet fruftum h pyramide , qua:
triangularern bafim habeae, abfeiflum, diuiditur
iii tres pyramides proportionales, in ea proportio
iie, qua: eft lateris maioris bafis ad latus minoris
ipfi refpondcns .

Hoc dcmonftrauit tconarduS Pifanns in libro , qui de- '
praxi geometria; inferibitur. Sed quoniam is adliucini-
prefliis non eft , nos ipfius dcmonftrationcm breuiter
pcrftringeinus , remiplam feputi, non uerba. Sit fni-
ihim pyramidis abedef, cuius maior bafis triangulum
abe, minor def; Aiuniftisae, ec, cd, per, line-
as ap, ec ducaturplanum, iecans.frnftumritemquc per
lihcas ec, cd; &per cd, da alia pJa.na ducantur , qua;
diuident ftuftura in tres pyramides 'aTa c c , a d c e , d e fc,
'Hi

F E D, C O M M A N D I N I

s: Dico easproporiioiialesefTein proportione, quas eftla^

tcrisab adlatusde, itaiit earum maior fit ah ce, me-
dia a d c e , & minor d e f c , , Quoniam enim lineas d e ,i
ab ffiquidifiants&interipias-iunt triangula abe,ade
«.festi , efit triangiiljim a b e

ad triangulum- a d e,
utlinca ab adlineam

de. ut autem triangu
Ium a b c ad triangu-

j.diiodcci Ium, a d e,,ita pyramis
*>i. abee ad pyramidcin

a.dec : habqnt qnipT
altitudinem eandem ,
qua! eil a, p.uHcfto c ad
planum-,. in quo qua-
si. qointi. drilatcrum a b.e.d. er-
go utabad d e , ita pyramis abec adpyramidcm adec.
Rurib-S quoniam squidiftantes funtax: df; eritc.adcm.
4 festi, tatioiie pyramis a d c e adpyramidcm cdfc, ut ap ad

df. - Sed ut ac a.t d'f, ita a b ad d e , quoniam triangula
a-b.e«.:, d, e f fimiliafunt,exnonahi4us. quare iitpyramis,
a b c e ad pyramidem adce,itapyramis adee adipfam'
de fc . ftuftum igitur a b c d e ( diuiditurin tr, es pyramides
proportionales ineaprbpbrtione,qU!e eftlatefis ab ad d e
latus, & earum maioreft cabe, media adee, & minor
de fc. quod demonftrare-oportcbat.

;FR0BEEMA-V. PROPOSITIO XXIIII.

Q__y o r n B ET frufliim pyramidis, uel coni,;
uel coni portionis, plano bafi atquidiftand ita Te-
care, ut ledio fit proportionalis inter maiorem ,
& minorem bafim.

Sit

DE ^ENTRO QRAVJT.SPEID. 51

SIT firuflum pyramidis a e, cuius maior bafis triangu^
JunvabcjmiiiOC-dieT:!^ oporteaciprum plano, quod bali
«qiiidiftetjita fetare, ^feiStio fit proportionalis inter tria
gulaab Gjd.efv lnueniaturinter lineas a b , d e media pro-
portionaliSjqUvT fit b g r&.a piiiiAo g erigatur g h «quidi-
fians b e , fecansqi a d in h : deinde per h ducatur planum
bafibus squidiftansjcuius fetiio fit triangulum h i^bOico
trianguluiia.h K l: -proportionale efie inter triangula a^bc,
d-eTbhoGefttriaii^lurriabcad.-.’-
triaiiguluin h K1 eandem habera
proportionem,. quam tiriagiilum , , ^ -|

h Kladipfum def. Quoiliaohini.
lines a b,h fCsquidifiantium' pia
norumfei-^iones inter fe squidi-
fian q: atqpe sqiiidifianq b A., g h
lincaJiA.ipfigDcftjEqualis:&pro
pteifea proportionalis inter ab,,-'
de.qi^areut a b adh K^taefih ic
ad de; fiat ut h k ad d-c,ita d e
ad aliam lineam, in quafit m . erit
ex squali ut a b ad d e, ita h k ad
m . Et quoniam triangula a b c,
h K-1, dc iTimiliarunt;trianguIu
abe ad triangulum h k Iefi,ut li-
nea a b adlineam d c;triangulu
autem h k ladipfum dereft,uthA,adi^fergo triangulum
abe adtrianguluin h k l eandem proportionem. haber,i
quam triangulum h Kl adipfumdef.Eodeinxnodoin a-
liis rrufiispyramidisidemdemonftrabitiir.

. Sitfhilhiniconi,uelconipOrtiofti5’ad:&‘fecetui‘pIano
per axem,cuius fectio fit^bcdiitaut maior ipfius bafisfit
circulusjuelellipfiscircadiametrum abi minor circa cd..
Rurrusiiiterlineas ab,cd inueniatiir proportionalis b e;.
&ab edufta efsqiud/fiantebd,quxlineamc ainffecer.

FED. COMMANDI NI

per f planum bafibiisiqnidiftaris ducatur, ut fit (ecSiocir
culus, uel diipfis circa diametrum f g.Dico feiiiionein a b
udfecaionem f'geandem'proportionefflhabere,quam f g
ad iplam c d.Simili enim ratione, qua fiipra, demonfifabir
tur quadratum a b ad quadratum fgitaefle,ut quadratu
i.duoile fgad cdquadratum.Sedcirculiinterfeeandem propor-
tioneui liabent,quam diametrorum quadrata, ellipfes au-
tem circaa b,fg,c d,qua fimiles fiint,uCofiendimus in c6-
mentariis in principium libri Archimedis deconoidibus ,
& (pharoidibus, eam habet {jrDportionem,quam quadrar
ta diamctrorum,qii.r eiu/Hem rationis funt, ex corollsio-
feptima: propofitionis eiurdenili- ■<

bri . ellipfes enim nunc appello ip-
lafpacia ellipfibus contenta . ergo
circiiluSjUelcllipfisa b adcirculu,
ucl ellipfim f geam proportionem
' habet, quam circulus, uel ellipfis.
f g ad circulum uel ellipfim c d -
quod quidem faciendum propor.
fuimus .

■ TriEOREMA XX. PROPOSITIO XXV.

•! . QjodubbT: fiuftumpyramidis, uciconi,

uel coni portionis ad pyratnidcra,ue! conum, uel
coni portionem, cuius bafis eadem eft, & «qualis
altitudo, eandem proportione habet, quam utr«
que bafes,maiof i & minor fimul fumpt« vna cu
ca,qux inter jpfas fit proportionalis, ad bafim ma
iorem. i.

Sit

DE CBNrilO/GRAVlT. SOLID.

SIT Iruftu pyramidis, uel coni, uel coni portionis a d, ,
cuius maior bafis a b, minor c d . & fecctur altero plano
bafi $quidiftante,-itaut/ewfio'e ffitproportionalis inter
bafes a b,c d.conftitiiaturauteppramis,ue! conus, uci co-
ni portio a g b,cuius bafis fi t eadem , qus bafis maior &u~
fti,& altitudo atqualis . Di-
co frullum a d adpyrami-
dcm , ttel conum , uel coni
portionem a g b eandem
pnoportione habere, qua
11 tricque bafes, a b, c d uni
cum e f ad bafim a b . cft
enim fruftum a d squale
pyramidi,uel cbno,uel co-
ni.portioni, cuius bafis ex
tribus bafibus a b, e fj c d
confiat j ■& altitudo ipfius
altitudini eft squalis : quod mox oftendemus . Sed pyrami
des, coni, uel coni portioes,
qux funt squali altitudine ,
eadem inter fc , quam bafes ,
proportioneib habent,ficu-
ti demonftratum eft, partira
ab Euclide in duodecimo li-
bro elementorum , partim a
nobis in comentariis in un-
decimam propOlitione Ar-
chimedis de conoidibus, &

(phsroidibus . quare pyra- . j.
mis,uel conus,ueI conipor-y
tio,Cuius bafis eft tribUs illis
bafibus xqualis ad a g b eam
habet proportionem, quam
bafes a b,e i^c d ad a b bafim . Fruftum igitur a d ad a g b

FED. .commandi NI - 'i

pyramideiiijuel conOni, uelcdiii pcsrtioncin eandem pro-
portionem habet, qnambafcs ab,cd..uija cumrd fadba--.
fim a bi quoddemonililai-eudlebamus

• . Friilliimucro .a(^ A’<^.uale c(Iep}tramicli,uel co-
no, ucl coni portioni , cuius bafis conftat ex bafir-
busab,'Cd,ef, &altitudoifrufti altitudini cft aj.r

E CENTRO GRAVIT. SOtID. 53
quod diuidat.fruftiiii) jt) 4 uo frpfta triangulares bales
bentia,uidelicet in.fruftiim a b d e f h,& )n fhiftii b c.dFgh.
erit triangulum a lii, proportionale inter triangula a b d,
efh:&triangulum,lm n proportionaleinrerbcdjfgh'
fcd pyramis «quealta, cuius bafis cpuilateii tribus, trian-
gulis abd,kln,efh,demoi}lirata
efi frufto a b d e- f h squalis :&(!.-
militer pyramis , cuius bafis con-
flat ex triangulis bcd,Imnjfgh
squalis fruflo b c d f g li : compo-
nuntur autem tria quadrilatera a
b c dAl m n , e fg li e fex triangu-
lis iam dictis . pyramis igitur ba-
fim habens squalem tribus qua- ,
drilateris , & altitudinem eandern,
ipfitruftoag eftaiqualis. Eodem i
modo illud demoftrabitur in aliis
ciufmodifruflis,.

Sit fruftiim conijUel coni portionis a d ; cuius maior ba-
fis circulus , uel ellipfis circa diametrum a b ; minor circa
c d :& fecetur plano, quod bafibusaiquidiftct, faciatq; fc-
Clionemlcircuiunijiiel dlipfim circa diametrum e f , ita ut
inter circiilos,uel elliplesa b,c d fit.proportionalis. Dico
a;cinum,uetconiportiouero, cuius palis cUsqualis tribus
circulis, uel tribus. ellipfi.bus a b,ef,c d ; Agltitudo eadem,
qua:..frufti!a.d,.ipflftuftoa:qHalemeire. producatur enim
tnifti fiipepficiesqiioufqtte eoeatin uniun punflum, quod
ficg : Sf coniiucl oonipdrtionis ag b axis iit g hjOccurrens
planisab,ef,cdinpunais h 4.1: circa circulum nero dc-
icribatiir quadratum ni n o p , iSt circa ellipfim reClaugulu
m.n o p , .qnodexipliiis. diametris conflat ; iunClisq; g m.,
g m, gf>, gp.:, ex eodejiTuerriceintelligatur pyramis bafiin
habens dictum quadj-atum;, . uel rcCtangiilum ; & plana in
quibHsfunc.circiilijUebqllipfe ef, cd ufqucadcjuslatsrs

F E D; C O M M A N DI N X

prodiTcannir. Qjioiii;uri igitur pyramis fecatur planis bafi
J.liuiin *qiiidiflantibns,4'i-T:ionesfimileserunr:atqu’eeflintqua-
,drata,uel reflangula circa circulos ,irel ellipies defcripta,
.quemadmodum & in ipfabafi. Sed cumcirculiinter fcea
jaliiodc- proportionem habeanr, quam diametrorum quadrata :

■ itemq; ellipfes eam quam reflangulaex ip&cuni diametris
7, <lc co- conflantia : & fit circulus, uel ellipfis circa diametrum e £

noidibus
& fphre-
i'oiclibu9

f ropoif iotialfe iiitef efrcfllaS , tief ellipres ai>,c d'; erit rd*
'tflailgiilUKi e f etiam inter retoftgula-aibi C'dproportio-
aiate Cpei redtaiignliinV-enifll ntinc breuitatis caufa etia ip-
diim quadratum ihttlligeBlus-. quare 'ex iis , q iip: proxime
'didta fiunt, pyramis' bafim habens iqtfaierti dictisreflangH
dis,& altitudinem edtideifl’, quam fruftum a d, ipfi' 'frufto' a
■pyrainide abficiflb' aJqualis probabitur, u tatttem rediangU
Ium cdadrcftanguluefiira circulus, uel ellipfiscdad e'f
circulum,ttcl tllipfim : compouendoq; utrediangula c d ,
c fiad e f rcdtangulum,ita circuli,iicl cHipies- e d,efiad e f:
& utrcdiangulum ef aclrcdtangulum a b,ita'eit£Hlus, ucl
ellipfis cfad a b circlilum,uclellipfimi ergo cx squali, &
componendo, ut rc-(aaguia.cd, e fia b adipfiuni a b, ita cir-
culi,

DE:CENTR 0 GRIAVIT. SiOOD. 34.

cali,udellipresci,efab adeirculumjuclellipfimab.ln-^
teUigatur pyramis q baiimbabciisjcqiialcmtribusredaa
gulis a b,e^cd;^ altitudinem cadiJm, quam fruftum ad.
intelligatiiretiainconusjuelconiportio qjcadem altitudi
nc, cuius bafis fit tribus circulis , uel tribus ellipfibiis ab,’ '
ef-jcd jequalis.pofiremointcIJigaturpyrainis alb, cuius
bafis fic-rcftaiigiilum in no p> & altitudo eadem, qua? fru-
fli : itemq, intelligapur.conjis» iiel coiiiportio a 1 b , cuius
bafis circulus, uclellipfis circ^ diametrum a b,&: eadem al
titudo . utigitur redrangu^aabje i^edad redanguluin a b, »0

ita pyramis q adpyramidem a I b j & iir circuli, ucl diip-
iisab,ef,cdad a bcirculum,uelel]ipfim,ita conus, uel co
ni portio adeonum, uel coni portionem a 1 b. conus
igitur, dei c<jnl‘portib q ad coniun ,-ueI Coni portionem
a 1 b'eft,iitpyi*amjs q ad pyramidem a 1 'b.ied pyramis
qlb adpyramidem agbeftjiitaltitudo ad altitudinem, ex
20. huius : & ita cft cphusjuel coniportio al 'b ad coiium,
nel coni portionem a g b cx 14. duodecimi elempntorum ,

6 c cx iis,qiice nos demonfirauimus iii commentariis in un-
decimam d^‘ conoidibus , /jiharroidibws , propofitione
quarta, pyramis autem ag b ad pyramidem c g d propor-
tionemliabet conlpofitam cx proportione bafiutn& pro
portionealtitudinUtn,exiugefiina-f5rimahuius : £c fiijiiU-
t;er cpnus,u.cl cpni portio a g b ad conum, ucl coni portio-
nem cgd proportionem habet compofitacxcifdem pro-
portionibus per ea, qiuc in didis commentariis demon-
firauimus,prppofitione quinta, & Texta : altitudo ciiim ia
utrifq.up eadem eij, & bafesintcrTc Te candemjiabept pro-
portionem. ergontpyramisagbadpyramidem cgdjita
efteonus, uel coniportio agb ad agd conum, uel coni
portionem:&percpnucrlionerationis,utpyramis a gb
adfruftu a pyramide ahTci/Tum, ita conus nelconi poftio
agb adTrumim ad.exa:qualiigitur,utpyramisq adfru-
ftum ii pyramide abTcifliim, ita conus ucl coni portio q ad

I z

FED. COMMANDirNI

fruffum a d. Sed pyramis q .-equaiis eft frufto a pyramide
abfciiibjUt demo iillraiiimus . ergo & con us, uel coni por-
tioeijCiiius bafis ex tribus circiilis,uelellipfibus a b,ef;cd
coni}at,&; altitudo eadem, qua; frufti : ipli iriifio a d eft sb-
qualis . atque illud eft, quod dcmouftrare oportebat.

THEOREMA XXI. PROPOSITIO XXVI,
C. V I V 5 1 1 B E T frufti S pyramide , ucl cono,,
uel coni portione abfcisfi, centrum grauitatiseft
in axe , ita iiteo primum in duas portiones diui-
fo, portio fuperior,qu:c minorem bafim attingit
ad portionem reliquam eam habeat proportio-
nem, quam duplum lateris; uel diametri rnaioris
bafis, vn ii cum larere, uel diametro minoris, ipfi
refpondente,haberad duplum lateris, uel diame-
tri minoris bafis vna cu latere , uel diametro ma-
ioris ; deinde a punfto diuifionis quarta parte fu
perioris portionis inipfa ffimpta.- acfurfiishb in-
terioris portionis termino,qiu eft ad'bafim maio
rem,fiimpta quarta parte totius axis: centrum fit
in linea,quae his finibus continetur, atque in eoli
nciEpun<3:o,qiio fic diuiditur,uc rota linea ad par
tem propinquiorem minori bafi, eadem propor-
tionem habeat, quam fruftum ad pyramide , uel
Conum , uel coni portionem , cuius bafis fit ea-
dem, qua: bafis maior,&: altitudo frufti altitudini
icquaiis .

DE CENTRO ORA VIT.S OLID.

Sit frufttim ae a pyrimide,quc triangularem bafim ha-
beat abfalfum : cuius maior bafis triangulum a b c, minor
d e f; & axis g h . dudo autem plano per axem & per linea
da, quodfciflionem faciat dax 1 quadrilaterum *, punfta
Kllineas bc, e f bifariam fecabunt. nam cum gh fit axis
frufti: erit h centrum grauitatis trianguli abc; & g
centrum trianguli def: cen-
trum uero cuiuslibet triangu
li etl: in reila linea , quje ab an-
gulo ipfius ad dimidia bafim
ducitur ex decimatertia primi
libri Archimedis de cetro gra
uitatis planorum, quare cen-
tru grauitatis trapezii bcfc
eft in linea Xl, quod fitm : & a
piindom adaxemdinSa mn
ipfi ak, iiel dl ^quidiftante;
erit axis gh diuifus in portio-
nes gn,nh, quas diximus.-ean
dem enim proportionem ha-
bet g n ad n h, qua I m ad m ki.

At 1 m adm K habet eam, qua S X

duplum' lateris maioris baiis
bc una cum latere minoris e f
ad duplum lateris e f una cum
latere bc, ex ultima eiufdem
libri Archimedis . Itaque a li-
nea Jig abfeindatur 3 quarta
pars , qux fit n p : & ab axe h g abfeindatur itidem
quarta pars h o: & quam proportionem habet fruftum ad
pyramidem, cuius maior bafis eft triangulum a b c , & alti-
tudo ipli jcqiialis; habeat o p ad p q . Dico centrum graui-
tatis fruftiefie in lineapo, &inpun61:oq. namqucipfum
cflein linea g h manifefie confiat.protradis enim £'ulli pii

ius .

Vln’iTia e-
itiTile libri
Archime-
dis.

F E D . C O M A N D I N I

«is, qnoufque in unum pundlum r conueniant ; critpyra-
midis a b c r 5 & pyramkiis d c Fr graiiitatis centrum in li-
nea r h . ergo 5 c reliquit magnitudinis, uiddicet Irufti ccn-
trumin cadcmlineaneceifario comperietur. lungantur
db,dc,dhjdm:&pcr lineas db, dc dud:o altero plano
intelligatnr friiftiun itJ duas pyramides diuiiiun : in pyra-^
midem quidem, cuius baiis cd triangulum a b c , uertex d :
& in eanijCiiius idem uertexj^ baiis trapezium b c fe . erit
igitur pyramidis a b c d axis d h, & pyramidis b c f e d axis
d m : atque erunt tres axes g h , d h , d m in eodem plano
da K 1 . ducatur prjttcrca per b linea ftip ii a K jcquidiftas,
qu{Blineamdhiiiiirecec:pei* p nero ducatur xy squidiT-
rians eidem , iecansquc d m in
.2 : & iiingatLir z ii , qiix fccct
ghin (p. tranfibiteaper q ; &
erunt (pq unum., atqueidem
plinthum i ut inferias apparc/-
bit. Quoniam igitur linea u o
?..fexti. jBqiiidiftatipfi dg, critduad
11 h, ut g o ad o h . Sed g o tri-
plaeftoh. quare & duipiius
uh eft tripla: & ideo pyrami-
dis a b c d centrum grauitatis
cTtt puinSum ti . Rurfiis quo-
niamzyipfi dl .'Equidiilat, d2
adx m eft, ucl y ady m: eftqiie
lyadym,utgp adpn. ergo

dz ad zm eft, ut gp ad p n.. J <5 l

Q^uod cum gp iit tripla p n ;
erit etiam d z ipilus zm tri-
pla . atque ob eandem cauF-
iam punctum z eft centrfi gra-^
uitaris pyramidis bcfcd.iim ^
dtaigitur z u,in ea erit cetrum

DE CENTKO GRA VIT. S OLI D.

griuitatis magnitudinis , qiis ex utrifqnc pyramidil)us o>
ftar 5 hoc eft ipliiis Irufti . Sed fru/li centrum eft etiam in a-
xcgh.ergoinpufivSiocp, in quo linea: 3u,gh coniieiiiiint.

Itaque u 1 ; z eam proportionem habet, quam pyramis t

bcf ed adpyramidem a bcd.&componendouz ad z
eainhabet,quamfruftumadpyramidema bcd.- Vtuero ^\s citro
uz ad z,?, ita o p ad p cp obhmilitudinen^triang-iiloruni,. gr-mita.
uo^',zp^'. quare op ad p 4 ) eftntfriillumadpyramidem
a b c d.fed ira erat op adp q. jcqualcs igitur (uiitp rt,p q :
q unum atqueidem piuiviiiim.cx quibus Icquitur lineam ^

2 u lecare o p in q ; & propterea piictum q ipfius frufti gra-
iiitatis centrum efle

Sitfrufliimag apyramide,qUarqiiadrangularent bafiin
habeatablciirumjCiiiusmaiorbafis abcd>,minor c f g h,.

&axis K Ldiuidaturaiiremprimu /^Ijitaiitquampropor-
tionem habet duplum lateris a b una cumlatere e i’ad du
pium lateris e f una cum a bjhabcat km adml. deinde a
piidlom ad k fumatur qiiartaparsiplius mK,qiKxlitmn.

&rurhis ab 1 fumatur quarrapars totius axis 1 k, qua: Iit
1 o.poflrcmofiat o n ad np,utfruftnm a-g ad pyramide,
cuius balisfiteadent,qU?5 frufli,'^ altitudo xqualis. Dico
pundum p frtifti a g grauitatis centrum cHe . ducantur
enim a c,eg.'& intelliganturduo frufta triangulares ba-'
fes habentia, quorum alterum If cxbafibus abc,c fgeo-
ftet i alterum 1 h ex bafibiis a c d,e g h . Sitq; frudi 1 f axis
qriinquograuitatiscentrnm s : frudi ucro Ihaxis t u,&:

X grauitatis centrum : deinde fungantur u r,t q,x s.trand-
bit u r per 1 : quoniam 1 ed centrum grauitatis quadran-
guli ab cd: & punda r u grauitatiscentratrianguloriim
a b'C, a c d j in qiUE qiiadrangukimipfurrvdiiuditur. eadem
quoqueratione t q perpundiim/{,trandbit^Atuero pro
portiones, ex quibus frudorumgrauitatis centrainquiri:-
iiins,eoEdcmfuntintotofrudoa g,&in frudis If^ih. Sunt
enim p er o 6laiiam huius i^uadrilatcra a b c d>c fg h llmilia:

FED. COMMANDINI-

itemq;(imilia triangula abn, erg:&ac d, egh .Udr-.
eoqilareiafibiipfisrefpondentia eandem inter ie(e pro-,
portionem feruant. Vt igitur duplum lateris ab uni
cum latere e fadduplmnlaterke 5'undcum.a b^ita eli,
duplum a d late-
ris uni cum late-
te e h ad duplum
ehuuacum ad:

& ita in aliis .

Rurfus frudum
a g ad pyramide,
cuius eadem eft
bafis , & Kqualis,
altitudo eandem
proportione ha,
bct,quam frudu
lif ad pyramide,
quK eft eads ba-
fi, & aquali alti-
tudine; & iimili-
ter quam 1 h fru-;
fium ad pyrami--
dem,, qUK ex ea-
debafi, Sttequali
altitudine con-
flat, nam fi inter
ipfas bafes me-,
dia: proportio-
nales conftituan
tur, tres bafes fimiil fiimpta ad maioren» bafim in om-
nibus eodem inpdo rehabebunc. Vnde fit, ut axes Kl,
q r,t u i pundtis p s x in eandem proportionem fecen-
fexti . tnr . crgo.linea x s per p tranfibit : & linea rii,s x, q t in-
ter fc aqiiidiftantes erunt.Itaque cum frufti a glatera pro-

dudla

■ de centro GRAVIT.SOLID. 37

dufla fuerint, ita ut in unum punSum y coeant, erunt tria
gala 11 y l,x y p, ty ^inter fe fimilia : & fimilia etiam triangu
lalyr,pys,/i,yq.quareutiii ip huius, demonftrabitur
xp,adpS:itemq;tK ad f q eandem habere proportione,
quam u 1 ad 1 r.Sed ut u I ad 1 1 ,itaeft triangulum a b c ad
triangulum a c d : & ijt t k ad K q,ita triangulum e f g ad
triangulum egh. Vtautem triangulum a bcadtriangu-
luma cdjitapyramis a bcy adpyrainidera a c dy.&ut
triangulum cfg ad triangulum egh, ita pyramis c fg y
ad pyramidem e g h y j ergo ut pyramis a b cy ad pyramide
acdy,i£apyramisefgy ad pyramidem eghy. reliquum
igitur frultu Ifadreliquumlruftulheftutpyramis abey.
ad pyramidem a c dy, hoc ed ut u 1 ad 1 r, & ut x p ad p s.
Quod eum frulH 1 f centrum grauitatis fit s : & frufti 1 h fit
centrum x: conftatpunftum p totius irufti a g grauitatis
elfe centrum . Eodem modo fiet demonftratio etiam in
aliis pyramidibus .

Sitfi-ufium ad a cono,ueI coni portione abfcilTum, cu-
ius maior bafis circulus, uel ellipfis circa diametrum a b ;
minor circa diametrum cd;&axis ef. diuidaturaute e f
ing,itsut egad gf eandem proportionem habeat, quam
duellum diametri a b una cum diametro c d ad duplum c d
una cum a b.sitq; g h quarta pars linea; g c ; & fit f K item
quartapars totius f e axis, Kurfusqiiamjjroportionein
habet fiiiftum a d ad conum, uel toni portionem, in cade
bafi,& lequali altitudine, habeat linea K h ad h l.Dico pun-
ftura 1 Irufti ad grauitatis centrum efic. Si enim fieri po-
tcft.fir m centrum .-producatiirq; 1 m extra fruftum in n :
&ut n 1 ad Im, ita fiat circulus, uel ellipfis circa diametrit
a b ad aliud Ipaciura , in quo lito. Iraquein circulo, uel
ellipfi circa diametrum a b reflilinea figura plane delcri-
batur,itaut qiuE relinquuntur portiones fint o fj^acio mi-
nores : &intelligatur pyramis ap b,bafim habens reftili-
neam figuram in circulo , uel ellipfi a b cieferiptam ; a qua

ip.quinti

ff. Arclii-
medu.

&Z.huIU8'

jp.qulnt)

FED. COMMANDINr

frurtiim p^iramidis fit abfciflum . erit ex iis qus proxime
tradidimus, friifti pyramidis a d centrum grauitatis l.Quo
tiiam igitur portiones ijiacio o minores funtidiabebit cir
culus , iid cilipfis a b ad

portiones didas maiore
proportionem, quam n 1
ad 1 m , fed ut drculus,uel
ellipfis a b ad portiones,-
ita a p b conus , uel coni
portio ad folidas portio-*
nes, id quod /iipra demon
Aratum cft ; & ut circulus
uel ellipfis c d ad portio-
nes, qujEipfiinfunr, ita co-
nus, ucl coni portio c p d
ad folidas ipiius portio-
nes. Quodeum figurjEin
circulis, ticfellipribus a b'

<;d defcriptJE fimilesfint,-
erit proportio circuli, uel
ellipUs a b adfiias portio
Bcs , eade , qiia? circuli ucl.
cilipfis c d ad luas , ergo'
conus,ueI coni portio ap
h ad portiones folidas ea-
dem habet proportione,
quam conus, uel conipor
tio cp d ad ibiidas ipiius
portiones. reliquum igi-
tur coni, uclconiportionisfrufiuj/cilicet ad ad reliquas
portiones folidas in ipfo contentas eandem proportione
nabet,quam conusjuel coni portio ap b ad folidas portio
Hes:hocefl:eandem,qiiamcircuJus,iieIellipfis a b adpor
tiones planas. quarciruAum coni, iielconiportionis a d

ad

*DE CENTRO GRAVIT, SOIID. 38

adportiones folidas maiorem habet proportione, quam
n I ad 1 m : & diiiidendo frudum pjramidis ad dittaspor-
tiones maiorem proportionem habet , quam n m ad m 1.
fiat igitur ut frudum pyramidis ,ad portiones, ita q m ad
ml.,Itaquequoniamafrudoconi,Helconiportionis a d,
cuius grauitatis centrum edm.auferturiruftum pjrrami-
dis habens centrum 1 ; erit reliqua; magnitudinis , qua: ex
portionibus folidis condat ; grauitatis cetrumin linea 1 m
produda,atqueinpun(3;o q, extra figuram pofitorquod
fieri nullo modo potcd . relinquitur ergo,utpiuiaum 1 fit
frudi a d grauitatis centrum . qus otnhia demondranda
proponebantur,

THEOREMA XXII. PROPOSITIO XXVII.

O M N I V M folidorum in fphxra defcripto-
rum, squalibus , Sc fimilibus bafibus conti-
nentur, centrum grauitatis efl: idem, quod Iphs-
rs centrum ,

Solida einfinodi corpora regularia appellare folent, de
quibus agitur in tribus ultimis libris elementorum : funt
aiitcmnumcro qiunque,tetrahedrum,ud p)iramis, hexa-
hedrnm,uel cubus, odlahedrumjdodecahedrum , & icofa-
hedrum .

Sitprimo abed p 3 jramisllpha:radcrcn'pta,cuius(jih®
ra: centrum fit e . Dico e pyramidis a b c d grauitatis efie
centrum . Si eniin iunfta d c producatur ad bafim a b c in
f; exiis,qu* demonftrauit Campanus in quartodecimo li
bro elementorutij, propoli tie-ne decima quinta, & decima
feptima,erit f centrum circuli circa triangulum a b c de-
feripti: atque erit e f fextaparsipfiiis fphierre axis. quare
ex primahuius condat trianguli a bc grauitatis centrum
cffepundumfi&idcirco lineam d f ellepjiramidisaxcm,

K i

FED. GOMMANDINI

At cnni e f fit fexta pars axis
■iphrerscjcrit d e tripla e 1' ergo
pun^ainn e eft grauitatis cen-
trum ip/ius p}'ramiclis : quod
in iiigefiina fecunda huius de-
monftratum fuit. Sed e eftcen
tnim fpluercC - Sequitur igitur,
ut centrum grauitatis pj^rami^
dis in fphsra defcriptje idem
fit , quod ipfius fph^rs cen-
trum «

Sit cubus in /phrcradefcriptus a b,&oppofitorum.pIa-
norum lateribus bifariam diuifis , per pundadiuifionum
plana ducantur, ut communis iplorum fedliofit re<5talir
neacd.Iraquefiducatur a b,folidifciIicetdiameter, lineic
a b,cd ex trigefimanona undecimi fgfe bifariam fecabunc.
fecent autem inpundlo e . erit
e centru grauitatis folidi a b,
id quod demonftratiimeftin
o<^lauahuius.Sed quoniam ab -
eft Iphars diametroitqualis,
ut in decima quinta propofi-
tione tertii decimi libri eleme
torum oftendifur : pundum e
fph;ErcE (^uoque centrum erit .

Cubi igitur in iphieradeferi-
pti grauitatis centrum idem
cft,quod centrum ipfius /pIuenT .

Sit odahedrum a b c d e f, in iph^ra deferiptum , cuius
lpha;ra; centrum fit g . Dico pundiim g ipfius odahedri
grauitatis centrum effe . Conftatenim ex iis, qiue demon-
ftratafiint a Campanoin quinto decimo libro elemento-
rum, propofitionefextadccima einfmodi /olidum diuidi
in duaspj»ramidcs «quales, fimilesj uidelicecin p 3 frami-

dem,

t)E CENTRO GRAVIT. SOLID. 3V

demjCuiiis bafis efc quadratum a bcd,& altitudo e g;8i
in pyramidem, cuius eadebafis,aItitudoq; fg^utiinc eg,
gffemidiametri fphajr^j&lineauna. Cuigiturgfitlph.T-
ras centrum, erit etiam centrum circuli, qui circa quadratu
a b c d defcribitur : & propterea eiufdem quadrati grauita
tis centrum: quod in prima propofitione huius demoii-
ftratum eil . quare pyramidis a b c d e axis erit e g : & pyra
midis a b c d f axis f g. Itaque fit h centrum grauitatis py-
ramidis a b c d e,& pyramidis a b c d f centrum fit K : per-
Ipicuum oftexuigefimafecundapropofitionchuius, linea
e h triplam efTe h g : c6
ponendoq; egipfius g
h quadruplam. &eade
ratione f g quadrupla
ipfius g K . quod cum e
g, gf fint;equales, & h
g, gK necellario aequa-
les erunt, ergo exquar
ta propofitione primi
libri Archimedis de ce-
tro grauitatis planoru ,
totius odtahedri , quod
cx didtis pyramidibus
confiat, centrum grani
tatis eritpundliim g idem,quodipfius Iphxr^e centrum,
Siticofahedrum a d deferiptum in /jfiirera, cuius centru
fitg. Dico g ipfius icoiahedri graiiitatisefiecenfriim .Si
enim abangnlo a per g ducatur redalineaii/que ad /jfii®
rx fiiperficiem j confiat ex Texta decimapropofitione libri
tertii decimi elementorum, cadere cam in angulum ipfi a
oppofitiim.cadatin d: fitq; unaaliqiia bafisicofiihedri tri-^
angulum a b c : & iundjc b g,c gproducantur,& cadantin
angulos e f, ipfis b c oppofitos. Itaque per triangula
a b c , d e f ducantur plaaa ipha^ram fccantia . erunt hse Te-

e

I j.primf
14. primi

FED. eOMMANDINI

ftiones circuli ex primapropofitioiie (j)ha;i-icoriimTheo
dofii unus quidem circa triangulum abe deferiptus: al-
ter uero circa d e ( ; & quoniam triangula a b c, d e f xqua-
lia fuut,& fimilia ; erunt ex prima, & fecunda propofitionc
duodecimi libri elementorum , circuli qiioque inter fefe
squales, poftremo a centro gad circulum a beperpendi
cularis ducatur g h ; & aliaperpentliciilaris ducatur ad cir
culum def,qnalitgitj&iungantur ah,dK .perljdcuuin
cll cx corollario prims (p limeorum Theodoui, punftum
ti centrum effe circuli a b. c,& k centrum circuli q e £Quc(
niam igitur triangulorum g a h,g d Klatus a g efts^uale la
teri g d ; fuiit enim a centro liihar.iE ad fuperficiem : atque
eft a h aquale d k : & ex fextapropofi tione libri primi Ipha:
ricoruro Theodofii gh ipfi g K : triangulum gah squale
erit,&CmilegdK triangulo ;& angulus a gh squalis an-
gulo dgJC.fedanguliagh ,hgd fimt squales duobus re-
fiis . ergo & ipfi h g d, d g k duobus redtis squales erunt .
&idcirco hg,gK una,atq.uccademeritlinea..curaautem
h fit centru circuli, & tri-
anguli ab c grauitatis ,cen
tru probabitur exiis,qus
in prima propofieionehu
ius tradita fiuit . quare g h
erit pyramidis ab c g axis.

&bb eandem cauflam g k
axis pyramidis d e f g. Ita-
que centrum grauitatis py
ramidis ab cg fitpudlum
l,&pyramidis defgfitm.

Similiter utfiiprademon-
ftrabimusmg,glinterfesqualese(re,’&punftum g graui
tatis centrum magni tudinis,qiis ex utrilijue pyramidibus
confiat, eodem modo demonftrabitur, quarumcmiqne
duarum pyramidum, qus opponuntur, grauitatis centru

effe

DE CENTRO GRAVIT. SOLID. 40

efTepunt^tum g. Sequitur ergo ut icofahedri centrum gra-
uitatis fit idem , qiiodipfius fj^liferce centrum

Sit dodccahedrum afin /J)ha:ra defignatumjfitque
r£E centrum m. Dico m centrum eflegrauicatisipfius do-*
decahedri. Sit enim pcntagoiuim abede una ex diiode-
cimbafibusfolidiaT&iundta am producatur ad fph^rx
fuperficiem.cadetin angulum ipfi a oppofitumj quod col-
Iigiturexdecima feptima propo-fitione tertii decimi libri
elementorum . cadat in £ at fi ab aliis angulis b ede per ce
trum itidem linese ducantur adfuperficiemfphasra: in pun
dlagh K 1; cadent ha in aliosangulos bafiSiquaripfiab cd
bafi opponitur, tranfeant ergo per pentagona abede,
fg h K 1 plana Iphs^ram fecantia, qua» facient fediones cir-
culos squales inter rcre;poftea ducantur excentro fpher*

corol.pri
niic iphiK
ncovuia
Theod.

primi
phxvico
luin. j

11 enire. ergo cum putida n o fint centra circulorum , coii-*
fiat ex prima huius & pentagonoru grauitatis efic centra :
idcircoq; m 11, m o pyramidum a b c d e nij fg h iC 1 in axes,
ponatur a b c d e m pyramidis grauitatis centrum p : dz py
ramidisfgh k lmiprurnqcentrum.eriintpm,inqsqua-
les , & pundum m grauitatis centrum magnitudinis , qiis
ex ipfis pyramidibus coiiftat.eode modo probabitur qiia-
ruiuiibet pyramidum, qus e regione opponuntur, centru

m perpendiculares ad pla-
na didorum circulorujad
circulum quidem abede
perpendicularis m n' : & ad
circulumfgh Klipfamo,
erunt piinda n o circulora
centra : & lines in n,m o in
teiTe squales; quod circu-
li squales fint . Eodem mo
do,quofiipra,dcmonfiiabi
mus lineas m n, m o in una
atque eandem lineam con-

B. quinti.

ip.qinnti
cxtradj-
tionc Ca-
lani.

FED. COMMANDINI

gi'auitatisefrepiinaumm.patetigitur totius dodccahe-
dri,centi'iim graui tatis ide effe,qiiod & iphKraipfum coin
prehendentis centrum. qu« quidem omnia deinonftraflfe
oportebat .

PROBLEMA VI. PROPOSITIO XXVIII.

Data qualibet portione conoidis redangu
li, abfeifla plano ad axem redo,uel non redo; fie-
ri poteftjUt portio folidainferibatur, uel circum-
feribatur ex cylindris , uel cylindri portionibus,
3;qualem habentibus altitudinem , ita ut reda li-
nea, qua: inter centrum grauitatis portionis, 8c
figura inferipta: , uel circumfcript.i: interiicitur,
fit minor qualibet reda linea propofita.

sit portio conoidis redlangidi a b c, cuius axis b d , gra-
liitatisq; centrum e: & fit gredla linea propofita. quam ue
ro proportionem habet linea b e ad lineam g , eandem ha-
beat portio conoidis ad folidum h: & circumfcribatur por
tioni figura, ficu ti dicRum cft , ita ut portiones reliqua: fint
folido h minores: cuius quidem figur® centrum grauitatis
fitpunftum K. Dico linea k e minorem efle linea gpropio-
fita. nifi enim fit minor,uel squalis,uel maior erit. & quo-
niam figura circumfcripta ad reliquas portiones maiorem
proportionem habet, qu;im portio conoidis ad folidum h;
hoc eft maiorem, quam b c aci g : & b e ad g non minorem
habetproportioiiem.quam ad lt,e,propterea quod k e non
ponitur minor ipfa g : habebit figura cireumlcripta ad por
tiones reliquas maiorem proportionem quambe ad ek:
& diiiidendo portio conoidis ad reliquas portiones habe-
bit maioreni,quam bx ad Ke .quarcfihatiitportio co-
noidis

DE CENTRO GIIAVIT. SOtID. 41

noidis ad portiones reliquas 5 ita alia linea, qua; fit i k ad
K eeeritltniaior^quanibk; & ideopunclumI extrapor-
cionem, cadet. C^jonia '

igitur a figuta cjrcuni-
feripta, cuius grauitatis
centrum cft.k, aufertur
portio concidis , cuius
centrum e . habetq; 1 K
ad Kc eam proportio-
nem , quam portio co-
noidis ad reliquas por-
tiones ; erit punftum l
extra portionem cades,
centrum magnitudinis
ex reliquis portionibus eompofitx. illud autem fieri millo'
modo poteft . quare conflat fincam k eipla g linea propoli
ta miiiorem efie.

Rurfusinlcribaturportionifigura,uideiicet cylindrus
m n , ut fit ipfitis altitudo
squalis dimidio axis b d :

& quam proportionem
habetb eadg,habcatm n
cylindrus ad fiolidum o.
infcribatiir deinde eidem
.alia figura , ita ut portio-
nes reliqua; fint folido o
minores : & centrum gra
uitatis figun-E fit p. Dico
lineam p eipla g minore «. »1

clle , fi enim non fit mi-
nor, eodem, quo fupra modo demonftrakimns figuram in
Icriptamad reliquas portiones maiorem proportionem
habere, quam b ead ep . & fi fiat alia liuea 1 eadep , uteft
figura inicrip ta ad reliquas portiones , pfuflimi I extra ppr

FED. COMMANDINI

tlonem cadet : Itaque cum aportioiic conoidis, cuius gra-
uitatiscciitnim e auferatur iuicripta figura, centrum ha-
bens p : & fit 1 e ad e p , u t figura inferipta ad portiones reli
quas : erit magni tudinis,qua; ex reliquis portionibus coii
ifat, centrum grauitatispuniftuml, extra portionem ca-
dens . quod fieri nequit . ergo linea p e minor cftipfa g li-
nea propofita.

£x quibus per/picuum efteentrum grauitatis
figiirxinfcriptx, 8c circumfcripttEco magis acce
dere ad portionis centrum, quo pluribus cylin-
dris, uel cylindri portionibus conltet : fiatq; figu
rainfcrjpta maior, 8c circumicripta minor. 6£
quanquam continenter ad portionis centru pro-
pius admoneatur nunquam tamen adipfumper
ueniet . fequeretur enim figuram irilcripram , no
iblum portioni, fed etiam circumfcriptaefigurx
squalem effe . quod cfl: abfurdum.

THEOREMA xxin. PI^OPQSITIO XXIX.

C V I V s L I B'E.T portionis conoidis recflangu-
li axisa cctro grauitatis ita ditiiditur, utparsqus
terminatur ad uerticem,reliqu.T partis, qua; ad ba
fim fit dupla.

SIT portio conoidis red-angiili iicl abfcifTa- plano ad
axem reL-to,uel non redo;& fctila ipfa altero plano per axe
■’ litrnperficieiTecSioab cre<5i:angi]liconirc(5tio,iielparabo
le; plani abfeindentis portionem fedio fit re<5ta lineaac:
axis portionis , & fecTionis diameter b d . Sumatur autem
in linea b d punitum Cj ita ut b e fitiplius e d dupla . Dko

epor-

4 ■^

DE CENTRO GRA VIT.SOilD.

c portionis a b
c grauitatis effe
centrum . Diui-
datur enim b d
bifariam in in :
&rurfus d m, in
b bifariam diui-
dantur in pun-
ais n, p; inferi-
baturq; portio-
ni figura; folida,
& altera circum
feribatur ex cy-
lindris squalem
altitudinem ha-
bentibus, utfu-
perius diiia eft’.
Sit autem pri-
mum figura in-
feripta cylidrus
f g : & circiiicri-
pta ex cylindris
ah, K1 confiet,
pundlum n erit
centrum graui-
tatis figurs in-
fcriptffi , medifi
fcilicet ipfius d
m axis atq; ide
erit centrum cy
lindri ah ;& cy-
lindri K I centru
o , axis b m me-
dium . quare fi li

r.huius

L »

FED. COMMANDINI

primf
libri Ar-
chimedis

5r. duo*
decimi.

j j.^uinu

1 . duode-
cimi .

neam on ita di
lii/erirntasili pj
ut qua propor-
tione habet;cy-
lindrus a h ad '
cylindrum k 1 ^
habeat lineaop
adp 11: centrufn
grauitatis toti-
us figura circii-
feriptx erit pun-
£tum p . Sed cy-
lindri, qfui funt
aquali altitudi-
ne, eandem in-
ter fe feVqitani
bafe-s prcJpor —
tionem habcilt:
€flq;iitlin'eadb
ad bm,ka qua-
dratu linea a d
adquadratu ip-
fiiis K. m,ex uige
fimapriitii libri
’ conicofui&ita
quadratum a c
ad quadratu K
g: hoc eft circu-
lus circa diame
trum ac ad cir-
culum circa dia
mctanim kg. du
pia ekautvm li-

nea d b lines

DE CENTKO GRAVlT.SOtll^.

b m. ergo circulus a c circuli ^ g: Sc idcirco cjHndri/s
a h cylindri 1 diiplus erit, quare t 5 : linea o p dupla
iplius p n . Deindeinrcripta& circumfcriptaporrioiri
alia figura, ita ut infcripta coniHtuatur ex tribus cylin-
dris qr,sg, tU: circumfcriptaueroexqaatuor ax,yz,

K i‘, a A : diuidaiitur b o , o m , m n , n d bifariam in puiif^is
{i V TT p . Itaque cylindri ^ A centrum grauitatis eft pun «Jlum
p: & cylindri k h centrum v. ergo fi linea pv diiiidatiirin tf,
itaiitp/jadtfvproportioneealiabeat, quanTcylindrus K a
adcylindrumd A, uidelicet quam quadratum li m ad qua-
dratum 5 o,hoceft, quam linea m b adbo': erit a centrum primi
magnitudinis compofitjE ex cylindris k r, 9 A . cum linea
m b fi t dupla b o, eri t & p ipfius (X v dupla, praiterea quo,-
iiiam cylindri y z centrum grauitatis cfi: TTilinca a t ita diui
iain T,Ut rf 7 ad T TT eam habeat proportionem, quam cyliii
drus y z ad duos cylindros K ? A: erit t centrum magnitk
diniSjqu.-s ex di< 5 tis tribus cylindris confiat' . cylindrus aii-
te yz ad cylindrum? A eftjUtIinea n badbo^hoceftutj
ad I ; & ad cylindrum k h , ut n b ad b m,uidelicet ut 3 ad s .
quare yz cyljdrusdiiobuscylindriski’,? A ftqualis cric.&:
proptcrca linea tf t xqiialisipfiT tt. denique c)/lindri a x
centrum graiuratis’'efipun( 5 lum p.^^cum t f diuifafuerk
in ea proportionem, quam habet cylindrus axad trescy-
lindrosyz, 9 A:ericin eo pundoccnrnim grauitatis
totius figurcE circufcriptx . Sed cylindrus ax ad ipfumy 2
cfiutlineadbad bn:hoc efi ut 4 ad 3: & duo cylindri
0 A cylindro y z ruhtxquales.cylindrnsigituf a x ad tres
iam didlos cylindros efi ut s ad3 . Sed quoiiia p rf efi dua-
rum partiiim,& rfv unius,qualiump 7 r cfi fex; erit rfvr par-
tium quatiior:proptercaq; T TT duarum, & v7r,hocefi ^ p
trium . quare feqiutiir ut pundum -n totius figunt circum
feripta; fit centrum. Itaque fiat v v ad » 7r5uc p o’ ad rf v. & u p
bifariam diuidatur in $ . Similiter.utin circumfeript.! figii
ra oficudetur centrum magnitudinis compoiita; ex cylm-

FED.

CO MMANDINI

dris sg,tu effe
piinilum v: Sc
totius figura in
fcripte,qusc6-
flat ex cylindris .
qr,fg,tn effe c>
centrum. Sunt
enim hi cylindri
rcquales&fimi-
lescylindrisyz,
K » , 9 ^ , figurs
circumfcripte .
Quonia igitur
ut b e ad e d, ita
cft o p ad p h ;
utraq; enim u-
triufque .cft du-
pla: erit compo
nendo, ut b d ad
d e, ita o n ad n
p ; & perniutan
do , ut b d ad b
n.itadead np.
Sed b d dupla
eft o n . ergo &
c d ipfius n p du
pia erit, quod fi
e d bifariam di-
uidaturi j;,erit
j; d , uel e a:-
quaVis n p ; &
fublatacn,qnx
eft comunis u-
trique c p

reliil-

DE CENTRO GRAVIT.SOLID. 44.

relinqueturpe ipfi n ctqiialis, cum autem be fit dupla
edj& op dupla pii,hocc/iipfius c^i^jR^rdiquiim, uideli- ,y
cet b o una cum p e ipfius reliqui d duplum erit . eftque
bo dupla i>d. ergop e,hoceftn ipfius P dupla. fed dn
dupla eft n^. reliqua igitur d i^diiplareliqiia: ij^n.runtaii-
tcm dxi p n inter fe jequales dtemqj aequales o<;n,p e. qua-
rcconfUt np ipfius p e duplam effe-^ idcirco pe ipfi cn
arqiialcm. RuiTus cumfit uv duplaoi' 3 &: po" dupla tfvierin
etiam reliqua v ? reliqua? tf o dupIa.Eadcni quoqueratione
cocludctur TT u dupla u m. ergo iit v a ad & o,ita /r v ad u m:
componcndoq;,tkpermutando,ut v o ad-/rm,ita o a" ad
m v: & funt^Eqiiales v o,7r m. quare & o cTjm v ajquales . pree
terea tf tt dupla eft '7rTj& v ^ipfius tt m. reliqua igitur <t v re
liquceniTdupla.atqueerat vtf dupla (jo.ergo mT,tfO x~
quales fiint : &■ ita a;quales m r, n tf) . at o a- , efi arqualis
m i’. Sequinirigitur, utomnes o a-, m r, nn*, n tf) in-
ter fefint xqnalcs. Sed ut p -II ad TT Tjhocefluts ad a, ita n d
ad d permutadoop ut p vr ad n djita tt t ad d fut requa

les f 'ff ,n d.crgo d > ,hoc efi; n p,&- 7 r t ctqiiales.Sed etiam ae-
quales n TT, 71 m. reliqua igitur x p reliqu.re m Tjhoc efi: ipfi
n $) jEqiKilis erit.quarc dempta p ir cx p cp n dempta cx
n c,rclinqiiiturp exqualis e p. Icaqiie -u >4 centra figtiraru
fecundo locodcTcriptarum aprimis centris p n aequali in-
teruallo recedunt, quod fi rurflis alin? figura: deferibantur,
eodem modo demonfirabimus earum centra aequaliter ab
his recedere, &adporrioais conoidis centrum propius ad
moneri . Ex quibus confiat lineam tt cp .1 centro grauitatis
portionis diuidiin partes aquales. Si enim fieri potefi,non
lir centrum in ptinilo e,qiiod efi linea ir tf) medium ; fcd in
4:&ipfi '« 4<'^q^^^fisfiattf).'y. Cumigiturinportionefolida
quadam figurainferibiposfit, ita ut linea, qua inter cen-
trum grauitatisportionis, &inrcriptafigurainteriicitur,
qualibet liiieaproporitafitminor,qiiodproximcdemon-
iirauimusrperucnict tandem 4 centrum inferipta figura

DE CENTRO ■GKAV1'T.'S0I.ID. 45

id punitum w. Sed quoniam t cireumferipta itidem *alia
figura a:quaiiintcnialloadportionis centrum accedit, ubi
primum ^ applicuerit fead», &TradpunitU'J.,hoceftad
portionis centrum fc applicabit . quod fieri Jiullo modo
poffe perfpicuum ell: . non aliter idem abfiirdiim fequetur,
li ponamus centrum portionis recedere a medio ad par-
tes ili effet enim aliquando centrum figura; inferipta: idem
quod portionis centru . ergo punitum e centrum erit gra
uitatis portionis a b c. quod demoiiflrarc oportebat . ;

Qiiod antciii fiipra dcinoftratum eftinportione conoi-
dis rcila per figuras, qus ex c}’Iindris Equalcm altitudir
diucm habentibus confiant, idem fimiliter demonftrabi-
mus per figuras ex cylindri portionibus confiajites.in e*
portione, qua: plano nonad axem reito afifcinditur.ut
enim tradidimus in commentariis in undecimam propoli
tionem libri Archimedis de conoidibus'5c Iphsroidibiis .
portiones cylindri, qua: a;quali funt altitudine.eam inter fa
feproportionem habent, quam iplarum bafes ; bales aute
quxfunt ellipres liijiiles eandem proportionem habere, corol. r;
quam quadrata diametrorum eiurdem rationis , excorol- d^conoi-
lario feptima: propofitionis libri de copoidibus , & Ipha:- f
roidibn3,manifefte apparet. ifibus.

THEOREMA XXmi. PROPOSITIO XXX.

S t ^ portione conoidis redanguli alia portia
abfeindatur , plano bafi iequidiftante *, habebit
portio tota ad eam , qu* abfcilla eft, 'duplam pro
portionem eius , qua: eft bafis maioris portionis
ad bafi m minoris , uel quie axis maioris ad axetri
minoris. , . V” ;

FED. COMMANDINI

' ABSCIN 1 >ATVR .i portione conoidisrcdangiili
ab caliaportio ebf, plano bafi£quidiftantc:& eadem
portio fecetur aJio plano per axem j ut fuperficiei fedHo iit
parabole abe : plaiioru portiones abfeindencium
iinece ac> e i: axis autem portionis >&reftioius diameter
b d i quam lineae fin pundo g fecet . D ico porrioncni co-
lloidis a b c ad portionem ebf duplam proportionem ha-
bere cius, qujBcftbafis ac adhafim cfi uclaxisdbad bg
nxem. Intclligantur cniin duo coni^Teu coni portiones
a b c,e b eadem bafim,quam portiones conoidis,&: o^qua
Icm habentes altitudinem . & quoniam ab eportio conoi
disfefquialteraeft coni, feu portionis coni ab c j & portio
ebf conifeu portionis coni e b feftrcfquialccraj quod de-

monfkauitArchimedesinpropofitionibusij, 14 libri
deconoidibusj &iphjcroidibus : erit conoidis portio ad
conoi dis portionem,ut conus ad conum, ucl ut coni por-
tio ad coni portionem^ Sed conus,uel coni portio abe ad
conum, ucl coni portionem e;bfcompofitam proportior
nem habet ex proportione bafis a c ad bafim e f,’& cx pro-
portione altitudinis coni , uei coni portionis a b c ad alti-
tudinem ipfius e bf, ut nos deniondrauimiis in com men-
tariis ili undecimam propolitionemeiufdem libri Archi-
incdis;altitiido autem ad altitudinem eB, ut axis ad axem .
quod quidem in conis redis perlpicuum cd , infcalenis ue

I>E CENTRO GRAVIT.SOLID. 4«

ro ita demonftrabitur. Ducatur a pundo b ad planum ba-;
fis a c perpendicularis linea b h , qux ipfam c fin K fecet .
eritbh altitudo co ni, iiel coniportiomsabc; &b Kaltitu
do efg. Qtiod cum linex ac,ef interlcxquidiftent, funt
enim planorum xquidiftantium feSioiies ; habebit d b ad
b gproportionem eandera,quam h b ad b k . quarepor-
tio conoidis a b c ad portionem e fg proportionem habet
compofitam ex proportione bafisa c adbafim ef; &ex
proportione d b axis ad axem b g . Sed circulus , uel
ellipfis circa diametrum a c ad circulum , ucl ellipfim
circa c f, cft ut quadratum a c ad quadratum e f ; hoc eft ut
quadratuad ad quadratu e g.&quadratum a d ad quadra
tum e g eft, ut linea d b ad lineam b g. circulus igitur,uel el
lipfis circa diametrum a c ad circulu,uel ellipfim circa e f,
hoc eft bafis adbafim eandem proportionem habet, qua
d b axis ad axem b g . ex quibus fequitur portionem a b c
ad portionem e b i' habere proportionem duplam eius ,
qua’ eft bafis a c ad bafim e f: uelaxis d b ad b g axem. quod
dernonftrandum proponebatur .

THEOREMA XXV. PROPOSITIO XXXI.

Cuiuslibet frufti a portione rcdanguli conoi
dis abfcisfi, centrum grauitatis efi: in a.xe , ita ut
demptis primum a quadrato, quod fit c.\ diame-
tro maioris bafis., tertia ipfius parte, 8c duabus
tertiis quadrati,quod fit cx diametro bafis mino-
ris ; deinde 3 tertia parte quadrati maioris bafis
rurfus dempta portione, ad quam reliquum qua
drati bafis maioris.und cum di<9:a portione dupla
proportionem habeat. eius, .qiia: clt quadrati ma-

■ M 1

iif.uncftf-

cimi.

4 fexti*

1. cluode
cimi

y. de co-
noidibus
& iphiB-
voidibus
I j-.quinti
xo. pnmi
conicoru

FED. COMMANDINX

roris bafis ad quadratum minoris : centrum fit in,
eo axis puiivtoj quo ita diuiditur ut pars , qux’ mi
«orem bafim attingit ad alteram partem eandem,
proportionem habeat j quam dempto quadrato
ininoris bafis ^ duabus tertiis quadrati maioris,
habet id, quod reliquum eft una cum portione U
tertia quadrati maioris parte dempta , ad reliqua-
ei u fdem tertite portionem.

SIT fniftum a portione rcttaiiguli conoiclis abfeiflum-
flb c d, cuius maior bafis circulus, iie! cllipfis circa diame-
trum b c, minor circa diametrum a d ; & axis e f. deferiba-
tiir autem portio eonoidis,a quo illud abfcilTum cft,& pla-

no per axem diuSo iecetur;tltfuperficiciie(2:lo fit parabo-
le b g c, cuius diameter, & axis portionis g fi deinde g fidiui-
datur in piinflo b,ita u tg h fi t d upla h fi & rurfus g e in can
dem proportionem diuidatiir : litqig/vipfius k e dupla, la
exiis>qii® proxime dcraoniiraiumus,oonftat centrum gra
uitatis portionis b gcefle h' piinaum ; &povtioiiis age
puiitlum k. fumpto igitur. infrabpiuitio-l, ita ut k h ad li b

r)E CENTRO GRAVIT. SOLID. ^7

eam proportionem habeat , quam a b c d fhiftum adpor-
riouem a g d; erit punRuin 1 cius Rudi grauitatis cctriim ••
habebitq-y componendo K 1 adlh proportionem caiidcmj
quam portio concidis bgc adagd portionem. Itiiq^quo
niam quadratum b f ad quadratum a c, hoc cd qu idratuin
b cad quadratum ad cdyiit linea fg ad ge: erunt diinj ter-
tia’ quadrati b c ad duas tertias quadratiadj iithg adg.^:
&ri a duabus tertiis quadrati bc dempL^ fuerint dii,r ter-
ti.^ quadrati ad :erit diuidedaid,qiiod relinquitur ad duas
tertias quadrati a d,ut h k ad k g.Ilurfus dux tercix quadra
tiad ad duastertiasquadratibcrunt,utk.gadgh:&du,e
tertix quadrati b c ad tertia parte ipfuis , ut gh ad h f.ergo
ex xquali id, quod relinquitur ex duabus tertiis quadrati
b c, demptis ab ipfis quadrati a d duabus tertiis , ad tertia
partem quadrati bc, iit/;^hadhf:&ad portionem eiufde
tertix partis, ad quam una cum ipfaportionejduplam pro
portionem habeat cius , qux eft quadrati b c ad quadratu
adjUtKIadIh. habet enim Ki ad Ih eandem proportio-
nem, quam conoidis portio b g c ad portionem a g d: por-
tio autem bgc ad portionem a g d diiphim proportionem
habet eius, qux efl: bahs b c ad bafim J d : hoc cll: quadrati
b c ad quadratum a djut proxime dcmonftratum cibquarc
dempto ad quadrato a duabus tertiis quadrati b c,entid,
quodrelinquitur unacum didla portione tertix partis ad
reliquam ciufdcm portioncm.utclad 1 f. Cum igitur cen-
trum grauitatis frulli ab c d liti, a quo axis e fin eam, qua
diximus,proportioiiem diuidaturi condar ucru efle illud,
quod demondrandum propofuimus,

FINIS LIBRI DE CENTRO

GRAVITATIS SOLI DO 11 VM.

ImprefllBononioe cum licenda SiiperiorLim,

lo.r.coni

coiiua.

30 huius